«Багаж» и математические структуры

Разобранный случай с абстрактными шахматными фигурами, полями на доске и отношениями между ними — это пример гораздо более общего понятия — математической структуры. Это стандартное понятие в современной математической логике. В гл. 12 я приведу более строгое описание, а пока вполне достаточно неформального определения:

Рис. 10.7. Три эквивалентных описания одной и той же математической структуры, которую математики назвали бы ориентированным графом с четырьмя элементами. Каждое описание содержит некий произвольный «багаж», но структура, которую все они описывают, на 100 % свободна от «багажа»: её четыре сущности не имеют свойств, кроме отношений между ними, а эти отношения не имеют свойств, кроме информации о том, какие элементы они связывают.

Математическая структура — это набор абстрактных сущностей с отношениями между ними.

Рассмотрим несколько примеров. На рис. 10.7 (слева) описываются математические структуры с четырьмя сущностями, связанными между собой отношением нравится. Сущность Филипп представлена изображением с множеством внутренних свойств, таких, например, как цвет волос. Напротив, сущности математических структур совершенно абстрактны, что предполагает отсутствие у них каких бы то ни было внутренних свойств. Это значит, что какие бы символы мы ни использовали для их представления, это будут лишь метки, свойства которых не имеют отношения к делу: во избежание ошибочного приписывания свойств этих символов абстрактным сущностям, обозначением которых они являются, рассмотрим более аскетичное описание, представленное на среднем рисунке. Оно эквивалентно первому, поскольку, если установить соответствие согласно следующему словарю: Филипп = 1, Александр = 2, лыжи = 3, скейтборд = 4, нравится = R, все отношения сохранятся. Так, «Александру нравится скейтборд» превратится в «2 R 4», а такое отношение на среднем рисунке действительно есть.

Математические структуры можно описывать точно так же, как шахматные партии, лишь при помощи символов. Так, в правой части рис. 10.7 представлено третье эквивалентное описание нашей математической структуры с помощью числовой таблицы четыре на четыре. В таблице значение 1 указывает, что отношение (нравится) имеет место между элементом, соответствующим данной строке, и элементом, соответствующим данному столбцу. Скажем, тот факт, что в третьей колонке первой строки стоит 1, означает, что «Филиппу нравятся лыжи». Очевидно, что существует гораздо больше эквивалентных способов описания математической структуры. Но есть лишь одна уникальная математическая структура, которая описывается всеми этими способами. Итак, любое конкретное описание математической структуры несёт «багаж», но сама структура его не содержит. Важно не путать описание с тем, что именно описывается: даже кажущееся наиболее абстрактным описание математической структуры не является самой этой структурой. Правильнее сказать, что структуре соответствует класс всех эквивалентных её описаний. В табл. 10.2 дана сводка отношений между этими и иными ключевыми понятиями, связанными с идеей математической Вселенной.