Адрес состояния системы

В теориях, которые используются физиками для описания реального мира, присутствует общее базовое понятие состояния, которое «развивается с течением времени». Это касается как классической механики, сформулированной Ньютоном, так и общей теории относительности и квантовой механики, и даже квантовой теории поля и стандартной модели в физике элементарных частиц. На любой из наших шахматных досок состоянием является горизонтальная строка квадратиков, каждый из которых окрашен в белый или серый цвет (и, возможно, несет какую-то дополнительную информацию). В зависимости от подхода к физике реального мира определение состояния может меняться. Однако каким бы оно ни было, мы можем задавать одни и те же вопросы об изменении направления времени и других возможных симметриях нашего мира.

«Состояние» физической системы — это «полный набор информации о системе в определенный момент времени, которая достаточна для описания ее дальнейшего развития[115] с учетом законов физики». Если точнее, то данное определение распространяется только на изолированные системы, то есть системы, не подверженные влиянию непредсказуемых внешних сил (в ситуации с предсказуемыми внешними силами мы можем просто-напросто объявить их частью «законов физики», действующих на данную систему). Таким образом, мы можем рассуждать как обо всей Вселенной, которая предполагается изолированной, так и о каком-то космическом корабле, находящемся на достаточном удалении от любых планет или звезд.

Рассмотрим для начала классическую механику — мир сэра Исаака Ньютона.[116] Что нам нужно знать, чтобы предсказать будущее системы в ньютоновской механике? Выше я уже упоминал об этом: нам потребуются положения и скорости всех элементов системы. Однако не будем торопиться, а попробуем прийти к этому ответу постепенно, шаг за шагом.

Когда кто-то упоминает ньютоновскую механику, можно не сомневаться — дело закончится игрой в бильярд.[117] Но давайте представим себе новый вариант игры — не тот традиционный бильярд с восемью шарами, а нечто уникальное. Свое гипотетическое развлечение с бильярдными шарами мы назовем бильярдом физиков. В попытке избавиться от излишних усложнений и добраться до сути вещей физики выдумывают игры, в которых нет ни шума, ни трения: идеально круглые сферы катаются по столу и отталкиваются друг от друга, не теряя ни капли энергии. Настоящие бильярдные шары ведут себя совершенно по-другому — каждому столкновению сопутствуют звук удара и рассеяние определенного количества энергии. Это наглядное проявление работы стрелы времени: шум и трение создают энтропию. Мы же на мгновение отбросим подобные сложности.

Для начала вообразим один-единственный бильярдный шар, катающийся по столу (распространить правила игры сразу на несколько шаров будет совсем нетрудно). Мы считаем, что он никогда не теряет энергию и, наталкиваясь на бортик, просто отскакивает. В целях нашей задачи «идеальный отскок» будет частью «физических законов» данной замкнутой системы — бильярдного шара. Так что же можно считать состоянием этого единственного шара?

На первый взгляд кажется, что логично считать состоянием шара в любой момент времени его положение на столе. В конце концов, если сделать фотографию стола, то что мы увидим? Место, где в тот момент находился шар. Однако выше мы определили состояние как полную информацию, требуемую для предсказания движения системы; очевидно, что одного лишь положения нам недостаточно. Если я скажу, что шар находится точно в центре стола (и больше ничего), и попрошу вас предсказать, где он окажется секундой позже, то вы не сможете дать мне точный ответ, ведь вам неизвестно, в какую сторону шар катился.

Разумеется, для предсказания движения шара на основании информации, имеющейся в наличии в конкретный момент времени, нам нужно знать как положение, так и скорость объекта. Говоря «состояние шара», мы имеем в виду его положение и скорость и — обратите внимание! — ничего более. Нам неважно, например, с каким ускорением шар катится, какое сейчас время суток, чем шар позавтракал в этот день и что еще происходит в его внутреннем мире.

Для описания движения частиц в классической механике вместо скорости часто используют такое понятие, как импульс. История данного понятия восходит к тысячному году и связана с величайшим персидским философом Ибн Синой (в латинизированном написании Авиценна). Он предложил теорию движения, в которой «влечение» — произведение массы и скорости — остается в отсутствие внешних воздействий постоянным. Импульс сообщает нам, какой энергией обладает объект и в каком направлении он движется.[118] В ньютоновской механике импульс равен произведению массы на скорость, а в теории относительности формула слегка модифицируется с учетом того, что с приближением скорости объекта к скорости света его импульс возрастает до бесконечности. Если вам известен импульс объекта с фиксированной массой, то вы знаете его скорость, и наоборот. Следовательно, определить состояние любой частицы можно, указав ее положение и импульс.

^{Рис. 7.6. Одинокий бильярдный шар, катающийся по столу без трения. Показаны состояния в три разных момента времени. Стрелочки обозначают импульс шара; он остается постоянным до тех пор, пока шар не отскочит от бортика}

Зная положение и импульс бильярдного шара, вы можете полностью предсказать всю траекторию, по которой он будет следовать, катаясь по столу. Пока шар свободно катится, не касаясь стенок, импульс остается постоянным; меняется лишь положение шара вдоль прямой линии, и происходит это с постоянной скоростью. Когда шар врезается в бортик, импульс мгновенно отражается относительно линии бортика, после чего шар продолжает движение с постоянной скоростью, то есть он отскакивает. Я описываю простые вещи сложными словами, но это необходимо.

Вся суть ньютоновской механики в этом и заключается. Если по одному и тому же столу катается много шаров, то полное состояние системы представляет собой всего лишь набор положений и импульсов каждого из них. Скажем, состояние Солнечной системы — это положения и импульсы всех планет, а также Солнца. Или же, если вам хочется большей детальности и реалистичности, — то это положения и импульсы всех частиц, из которых состоят эти объекты. А состояние вашего парня или девушки включает описание положения и импульса каждого атома его или ее тела. Правила классической механики позволяют однозначно предсказать, по какому пути пойдет развитие системы, опираясь лишь на информацию о ее текущем состоянии. После того как вы составили нужный список, дело берет в свои руки демон Лапласа, и исход предопределен. Однако вы не столь умны, как демон Лапласа, и у вас нет доступа к такому объему информации, поэтому парни и девушки навсегда останутся загадками. Кроме того, они представляют собой открытые системы, так что в любом случае вам потребовалась бы также информация и обо всем остальном мире.

Во многих ситуациях удобно рассуждать обо «всех потенциально возможных состояниях системы», называемых пространством состояний системы. Обратите внимание на то, что слово «пространство» употребляется в двух, казалось бы, совершенно разных смыслах. У нас есть пространство — физическая арена, на которой происходит движение реальных объектов во Вселенной, а также абстрактное понятие пространства как математического набора объектов (это почти то же самое, что и «множество», но с возможностью существования некой дополнительной структуры). Пространство состояний — это пространство, способное принимать разные формы в зависимости от рассматриваемых физических законов.

В ньютоновской механике пространство состояний называется фазовым пространством, хотя причины такого именования не до конца ясны. Это всего лишь набор всех возможных положений и импульсов всех присутствующих в системе объектов. В мире шахматных досок пространство состояний состоит из всевозможных последовательностей белых и серых квадратиков в одной строке, а также может включать некоторую дополнительную информацию в точках, где пересекаются диагональные линии. Когда мы окунемся в квантовую механику, то столкнемся с пространством состояний, состоящим из всех возможных волновых функций, описывающих квантовую систему; на техническом языке это называется гильбертовым пространством. В любой уважающей себя физической теории присутствует пространство состояний и правила, описывающие эволюцию конкретных состояний с течением времени.

У пространства состояний может быть громадное количество измерений, даже если обычное пространство всего лишь трехмерное. В этом контексте под измерением понимается «число, необходимое для фиксации точки в пространстве». В пространстве состояний есть по одному измерению для каждой компоненты положения и по одному измерению для каждой компоненты импульса для каждой частицы в системе. Если мы говорим о бильярдном шаре, катающемся по плоскому двумерному столу, то нам требуется два числа для описания его положения (так как сам стол двумерный) и два числа для описания его импульса (величины и направления). Таким образом, пространство состояний одного бильярдного шара, привязанного к двумерному столу, четырехмерное: два числа для положения, два для импульса.

^{Рис. 7.7. Два шара на бильярдном столе и соответствующее пространство состояний. Для обозначения положения каждого шара на столе требуется два числа, и еще два числа описывают его импульс. Полное состояние двух частиц представляет собой точку в восьмимерном пространстве (справа). Мы не можем нарисовать восемь измерений, так что постарайтесь вообразить, что они там действительно присутствуют. Каждый дополнительный шар добавляет к пространству состояний четыре измерения}

Если бы на столе было девять шаров, то нам потребовалось бы по два числа на положение каждого шара и по два на их импульсы — итого тридцать шесть измерений фазового пространства. Число измерений, требующихся для описания импульса и положения, всегда совпадает, так как в реальном пространстве вдоль каждой из осей пространства направлено по одной компоненте импульса. Если рассмотреть случай бейсбольного мяча, летящего в воздухе, что эквивалентно задаче об одной частице, свободно движущейся в трехмерном пространстве, то пространство состояний для него будет шестимерным. Для 1000 частиц оно будет 6000-мерным.

В реалистичных задачах пространство состояний чрезвычайно велико. Настоящий бильярдный шар состоит примерно из 10²⁵ атомов, а пространство состояний представляет собой список положений и импульсов каждого из них. Вместо того чтобы рассматривать эволюцию всех этих атомов, движущихся сквозь трехмерное пространство со своими импульсами, мы можем с равным успехом говорить о движении всей системы целиком как об одной точке (состоянии), движущейся сквозь пространство состояний с громадным количеством измерений. Это кардинальный способ перепаковки огромного объема информации в другую форму; нисколько не упрощая описание (мы всего лишь подменили огромное количество частиц огромным количеством измерений), он позволяет взглянуть на вещи с новой точки зрения.

Ньютоновская механика инвариантна относительно выбора направления времени. Если вы снимете фильм о том, как наш одинокий бильярдный шар катается по зеленому фетру и отскакивает от бортиков стола, то ни один зритель не сможет сказать, смотрит он эту пленку в прямом или в обратном воспроизведении. В обоих случаях на экране происходит одно и то же: шар катится по прямой линии с постоянной скоростью до тех пор, пока не врежется в бортик и не отскочит от него.

Однако это далеко не конец истории. В нашем шахматном мире мы определили инвариантность относительно обращения времени как идею о том, что последовательность состояний системы можно отразить во времени, и результат все так же будет подчиняться сформулированным для этого мира законам физики. На шахматной доске состоянием является строка белых и серых квадратиков; для бильярдного шара это точка в пространстве состояний, задающая положение и импульс шара.

Взгляните на первую часть траектории шара на рис. 7.6. Шар равномерно и прямолинейно катится вверх и вправо, величина его импульса остается постоянной, и направлен импульс также вверх и вправо. Если зеркально отразить происходящее во времени, то мы получим последовательность положений шара, движущегося из верхней правой области стола в нижнюю левую, а также набор одинаковых импульсов, указывающих вверх и вправо. Но это какое-то безумие. Если шар катится вдоль траектории с обратным направлением времени — сверху и справа вниз и влево, то и направление его импульса должно совпадать с направлением скорости. Очевидно, что самый простой рецепт — взять исходный набор состояний, упорядоченный во времени, и воспроизвести его в неизменном виде в обратную сторону — не работает. Получившаяся траектория не отвечает законам физики. (Совершенно очевидно, что импульс никак не может быть направлен в сторону, противоположную направлению скорости, ведь он равен произведению скорости и массы![119])

Эта дилемма хоть и кажется неразрешимой, в действительности довольно проста. В классической механике мы можем определить операцию обращения времени не просто как воспроизведение исходного набора состояний в обратную сторону, но как составную операцию, включающую изменение направления импульсов на противоположное. И тогда действительно классическая механика окажется идеально инвариантной относительно обращения времени. Если вы предоставите мне описание эволюции системы с течением времени, включающее положения и импульсы каждой ее части в каждый момент времени, то я смогу развернуть эти импульсы в обратную сторону, воспроизвести последовательность в обратном порядке и получить новую траекторию, которая также будет представлять собой правильное решение ньютоновских уравнений движения.

Это более или менее отвечает здравому смыслу. Возьмем планету, вращающуюся вокруг Солнца. Предположим, что вам стало интересно, как этот процесс будет выглядеть в «обратной перемотке», — вы мысленно меняете направление течения времени, и теперь планета движется по той же орбите, но в обратную сторону. Наблюдая эту картину в течение какого-то времени, вы приходите к выводу, что все выглядит вполне достоверно. Это происходит потому, что ваш мозг автоматически меняет направление импульса на противоположное, — вам даже не приходится задумываться об этом, в вашем воображении планета совершенно естественным образом движется в обратную сторону. Мы не придаем этому большого значения, потому что не можем увидеть импульс так же, как видим положение. Тем не менее это такая же важная часть состояния любой системы, как и положение входящих в нее частиц.

Следовательно, нельзя говорить, что ньютоновская механика инвариантна относительно самого тривиального определения обращения времени: взять упорядоченную по времени допустимую последовательность состояний, поменять порядок их следования на обратный и посмотреть, будет ли новая последовательность отвечать действующим законам физики. При этом никого это особо не волнует. Мы просто даем более усовершенствованное определение: в этой упорядоченной во времени допустимой последовательности состояний нужно преобразовать каждое индивидуальное состояние некоторым простым, но конкретным способом и только после этого менять порядок следования состояний на обратный. Под «преобразованием» мы понимаем всего лишь изменение каждого состояния согласно заранее согласованному правилу; в случае ньютоновской механики требуемой трансформацией будет «изменение направления импульса на обратное». Если мы найдем достаточно простой способ преобразования отдельных состояний, обеспечивающий соблюдение законов физики даже после обращения времени, то сможем с гордостью объявить, что эти законы инварианты относительно изменения направления времени.

Это заставляет вспомнить (по крайней мере должно заставлять, если мой план удался) диагональные линии с шахматной доски C. Там мы обнаружили, что показанный на панели C' результат простого зеркального отражения упорядоченной по времени последовательности состояний не отвечает правилам исходного шаблона. Следовательно, шахматная доска C не допускает тривиального обращения времени. При этом если сначала отразить шахматную доску по горизонтали и только после этого поменять направление времени, то результат будет удовлетворять первоначальным правилам. Таким образом, в этом мире существует хорошо определенная процедура преобразования индивидуальных состояний (строк, состоящих из квадратиков), показывающая, что шахматная доска C инвариантна относительно обращения времени, но в более изощренном смысле.

Понятие об обращении времени, включающее преобразование состояний в дополнение к непосредственному изменению направления времени, может вызывать сомнения, но физики постоянно занимаются чем-то подобным. Например, в теории электричества и магнетизма при обращении времени электрическое поле остается неизменным, а направление магнитного поля меняется. Это всего лишь часть требуемого преобразования; прежде чем пускать время в обратную сторону, изменениям должны быть подвергнуты как магнитное поле, так и импульс.[120]

Урок, который мы должны извлечь из всего этого, заключается в следующем. Фраза «данная теория инвариантна относительно обращения времени» не означает «можно только лишь поменять направление времени, и теория как работала, так и продолжит работать». На самом деле все немного сложнее: нужно каким-то простым способом преобразовать состояние в каждый момент времени, а потом уже менять направление времени, и тогда теория продолжит работать, как раньше. Очевидно, что выражения типа «каким-то простым способом» в определениях фундаментальных физических понятий несколько подрывают их авторитет. Кто вправе судить, что можно считать достаточно «простым», а что нет?

В действительности это не так уж важно. Если существует какое-то преобразование, которое можно применить к состоянию некой системы в каждой момент времени так, чтобы движение «назад во времени» подчинялось исходным физическим законам, вы можете смело объявлять это инвариантностью относительно изменения направления времени. Или другим видом симметрии, связанным с обращением времени, но не в точности равным ему. Название не играет роли; важно лишь понимание всевозможных симметрий и того, соблюдаются они рассматриваемыми законами или нет. В стандартной модели физики элементарных частиц действительно существует преобразование состояний, после которого они могут быть «прокручены назад во времени» так, чтобы исходные уравнения движения по-прежнему соблюдались. Но физики предпочитают не называть это «инвариантностью относительно изменения направления времени». Давайте посмотрим, как это работает.