Цермело против Больцмана

В исходной статье Пуанкаре, где доказана теорема о возвращении, ученый в основном рассматривает четкий, предсказуемый мир ньютоновской механики. Однако Пуанкаре также был знаком со статистической механикой, поэтому он очень быстро осознал, что идея вечного возвращения может показаться несовместимой с попытками вывести второе начало термодинамики. В конце концов, второе начало утверждает, что энтропия меняется только в одну сторону: она возрастает. В то же время создается впечатление, что, согласно теореме о возвращении, после того как низкоэнтропийное состояние перейдет в высокоэнтропийное, нужно всего лишь подождать достаточно долго, и оно вернется к своему низкоэнтропийному началу. Это означает, что где-то по пути энтропия должна уменьшиться.

В 1893 году Пуанкаре написал небольшую статью, посвященную исследованию этого очевидного противоречия. Он подчеркнул, что теорема о возвращении действительно подразумевает, что энтропия Вселенной в конечном счете начнет уменьшаться:

Я не знаю, было ли замечено то, что английские кинетические теории не могут выпутаться из указанного противоречия. Согласно этим теориям мир сначала стремится к состоянию, в котором он остается долгое время без заметных изменений, и это согласуется с опытом. Однако он остается в этом состоянии не всегда, если теорема, упомянутая выше, не нарушается; он просто находится в нем чрезвычайно долгое время — время, которое тем больше, чем более многочисленными являются молекулы. Это состояние будет не окончательной смертью Вселенной, а своего рода сном, от которого она пробудится через миллионы миллионов столетий.

Согласно этой теории, для того чтобы наблюдать переход тепла от холодного тела к горячему, вовсе не обязательно обладать острым зрением, разумом и проворством «демона» Максвелла — для этого достаточно иметь лишь немного терпения.[178]

Под «английскими кинетическими теориями» Пуанкаре предположительно понимал работы Максвелла, Томсона и других — никакого упоминания о Больцмане (или, если уж на то пошло, Гиббсе). По этой ли причине или просто потому, что данная статья не попалась ему на глаза, но Больцман так никогда и не ответил Пуанкаре напрямую.

Однако идея не была забыта. В 1896 году Цермело выдвинул простое возражение (ссылаясь именно на длинную статью Пуанкаре 1890 года, где формулировалась теорема о возвращении, а не на его более короткую статью 1893 года), которое теперь носит название возражения Цермело о возвращении.[179] Несмотря на известность Больцмана, в конце XIX века атомная теория и статистическая механика в немецкоговорящем мире были далеко не так популярны, как в англоязычных странах. Как и многие другие немецкие ученые, Цермело считал второе начало термодинамики абсолютным законом природы; энтропия замкнутой системы всегда, а не просто большую часть времени увеличивается или остается постоянной. Но теорема о возвращении недвусмысленно предполагает, что если энтропия сначала увеличивается, то со временем, когда система вернется к исходной конфигурации, ей непременно придется уменьшиться. Вывод, который из этого сделал Цермело, заключался в том, что система взглядов статистической механики в корне неверна; поведение теплоты и энтропии невозможно свести к движению молекул, подчиняющихся законам Ньютона.

Позднее Цермело завоюет славу в математическом сообществе как один из основателей теории множеств, но в то время он был студентом, постигающим науку под руководством Макса Планка, и Больцман не принял всерьез возражения юного выскочки. Он снизошел до ответа, не проявив, впрочем, особой терпимости:

Работа Цермело показывает, что мои статьи были поняты неправильно; тем не менее мне доставляет удовлетворение ее появление, поскольку она, по-видимому, является первым свидетельством того, что эти статьи вообще обратили на себя какое-то внимание в Германии.

Теорема Пуанкаре, которую Цермело разъясняет в начале своей работы, вне всякого сомнения, правильна, однако применение им этой теоремы к теории теплоты является неверным.[180]

Вот оно как! В ответ Цермело написал еще одну статью, и на нее Больцман также дал ответ.[181] Но в действительности эти двое говорили о разных вещах, так что к выводу, одинаково устраивающему обе стороны, им прийти так и не удалось.

В то время Больцман полностью разделял идею о том, что второе начало термодинамики — по своей природе статистический закон, но никак не абсолютный. Основная мысль его ответа Цермело заключалась в том, что необходимо отделить теорию от практики. В теории, Вселенная может брать начало в низкоэнтропийном состоянии, доходить до термического равновесия, а затем, повторяя свое развитие в обратную сторону, снова возвращаться к состоянию с низкой энтропией. Это следует из теоремы Пуанкаре, и Больцман не отрицал этого. Но фактическое время ожидания было бы невероятно долгим, намного больше, чем «возраст Вселенной», как мы понимаем его сегодня, и, определенно, выходящим далеко за рамки любых временных интервалов, которые рассматривались учеными XIX столетия. Больцман утверждал, что выводы из теоремы о возвращении следует считать забавным математическим курьезом, который тем не менее никоим образом не может быть применим к реальному миру.