§ 14. Движение по окружности

Простейшим видом вращения является движение тела по окружности с постоянной скоростью. Представим себе центрифугу для тренировки космонавтов. Она содержит кабинку, закрепленную на рычаге, который может вращаться в горизонтальной плоскости, сначала медленно, затем быстрее. Посадим космонавта в кабинку и запустим центрифугу. Мы увидим через телекамеру, что космонавта вдавила в кресло сила инерции (см. § 11). В системе отсчёта, связанной с центрифугой, эта сила направлена вдоль рычага по радиусу от центра вращения кабины. Её называют центробежной силой инерции Fцб. Эта сила считается силой противодействия. В примере с тележкой сила инерции противодействовала ускоряющей силе. Значит, при вращении центробежная сила противодействует какой-то ускоряющей силе, устремленной к центру вращения. Назовем её центростремительной силой Fцс. По определению, Fцс = Fцб (14.1). Очевидно, сила Fцс – это сила связи, которая удерживает кабинку на круговой орбите. Её источник – рычаг центрифуги, связанный с электромотором. Попробуем найти уравнение, связывающее силу Fцс со скоростью v кабинки при её вращении по окружности радиуса R. Применим, как обычно, наш энергетический подход: E = А = Fs (14.2).

Центростремительная сила Fцс характеризует работу А электромотора, который передает энергию Е через рычаг кабинке. Применяя уравнение (14.2) к вращению центрифуги, мы должны учесть, что сила Fцс зависит от радиуса вращения. Известно, что при вращении карусели центробежная сила в центре равна нулю, а на краю карусели она максимальна. Если путь s от центра до окружности равен R, значит, нужно взять среднее значение силы: F = Fцс/2. Подставляя данные в уравнение (14.2), получаем уравнение вращения: E = Fцс*R/2 (14.3). С другой стороны, Е = А= Рt, где Р – мощность электродвигателя. Работа электродвигателя преобразуется в кинетическую энергию кабинки Ек = mv²/2 (14.4). Очевидно, эти величины равны, так как одна переходит в другую: Е = Ек. Приравняем их: Fцс*R/2 = mv²/2. Решая относительно Fцс, получаем искомое уравнение: Fцс = mv²/R (14.5).

Из (14.5) легко получить формулу для центростремительного ускорения а_цс. По второму закону: F_цс = mа_цс. Подставляя в (14.5), получаем: mа_цс = mv²/R. Отсюда: а_цс = v²/R (14.6).