§ 34. Теорема Гаусса

Следует заметить, что теорему Гаусса, которая связывает величину заряда Q с электрическим полем Е вокруг этого заряда, в отечественной литературе принято называть теоремой Остроградского – Гаусса. Считается, что русский учёный Остроградский доказал эту теорему независимо от Гаусса. Не вдаваясь в споры о приоритете, покажем, что теорема Остроградского-Гаусса элементарно выводится из закона Кулона. Напомним, что закон Кулона имеет вид: F = Qq/4??₀r² (34.1), где Q – заряд тела, q – малый (пробный) заряд, r – расстояние от тела до малого заряда, ?₀ – электрическая постоянная. Полем E мы по прежнему называем отношение силы F к малому заряду q: E = F/q.

Перепишем (34.1) в виде: E = Q/(4? ?₀ r²) или: E*4? r² = Q/?₀ (34.2). Слева в (34.2) стоит поле E, умноженное на площадь поверхности сферы радиуса r: 4? r² = S₀. Произведение любого поля на площадь поверхности, через которую это поле проходит, Фарадей назвал потоком поля Ф. Тогда можно написать: Ф = Q/?₀ (34.3). Уравнение (34.3) называют теоремой Остроградского – Гаусса. Согласно этой теореме, поток Ф электрического поля Е через замкнутую поверхность равен зарядуQ внутри нее, деленному на ?₀. Значение универсальной постоянной ?₀ равно 0,885х10^-11 ф/м.

Задача. Вычислить напряженность электрического поля Е для провода диаметром 2 r вблизи его поверхности.

Решение. Опытами доказано, что свободные электроны размещаются главным образом на поверхности заряженного тела, потому что их вытесняют поля связанных электронов. Выберем участок провода длиной l с площадью поверхности s = 2? r l. Теорема Гаусса для провода имеет вид: Ф = E s = E 2? r l = Q/?₀, откуда E = Q/(2? r l ?₀). Введем понятие линейной плотности заряда провода: ? = Q/l, тогда для провода: E = ?/(2? r ?₀) (343.4). Это есть ответ.