Пифагоровы числа

Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий, состоит в следующем. Пусть через точку А требуется к прямой MN провести перпендикуляр (рис. 1). Откладывают от А по направлению AM три раза какое-нибудь расстояние а. Затем завязывают на шнуре три узла, расстояния между которыми равны 4 а и 5а. Приложив крайние узлы к точкам А и В, натягивают шнур за средний узел. Шнур расположится треугольником, в котором угол А — прямой.

Рис. 1

Этот древний способ, по-видимому, применявшийся еще тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся, как 3:4:5, согласно общеизвестной теореме Пифагора, – прямоугольный, так как

32+ 42= 52.

Кроме чисел 3, 4, 5 существует, как известно, бесчисленное множество целых положительных чисел а, Ь, с, удовлетворяющих соотношению

а2 + Ь2 = с2.

Они называются пифагоровыми числами. Согласно теореме Пифагора такие числа могут служить длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника; поэтому а и b называют «катетами», а с — «гипотенузой».

Ясно, что если а, Ь, с есть тройка пифагоровых чисел, то и pa, pb, рс, где р — целочисленный множитель, – пифагоровы числа. Обратно, если пифагоровы числа имеют общий множитель, то на этот общий множитель можно их все сократить, и снова получится тройка пифагоровых чисел…