Трапеция или прямоугольник?

ЗАДАЧА

В роковой для своей жизни день Пахом прошел 10+13+2+15 = 40 верст, идя по сторонам трапеции. Его первоначальным намерением было идти по сторонам прямоугольника; трапеция же получилась случайно, в результате плохого расчета. Интересно определить: выгадал ли он или прогадал от того, что участок его оказался не прямоугольником, а трапецией? В каком случае должен он был получить большую площадь земли?

РЕШЕНИЕ

Прямоугольников с обводом в 40 верст может быть очень много, и каждый имеет другую площадь. Вот ряд примеров:

14 × 6 = 84 кв. верст

13 × 7 = 91»»

12 × 8 = 96»»

11 × 9 = 99»»

Мы видим, что у всех этих фигур при одном и том же периметре в 40 верст площадь больше, чем у нашей трапеции. Однако возможны и такие прямоугольники с периметром в 40 верст, площадь которых меньше, чем у трапеции:

Следовательно, на вопрос задачи нельзя дать определенного ответа. Есть прямоугольники с большей площадью, чем трапеция, но есть и с меньшей, при одном и том же обводе. Зато можно дать вполне определенный ответ на вопрос: какая из всех прямоугольных фигур с заданным периметром заключает самую большую площадь? Сравнивая наши прямоугольники, мы замечаем, что чем меньше разница в длине сторон, тем площадь прямоугольника больше. Естественно заключить, что когда этой разницы не будет вовсе, т. е. когда прямоугольник превратится в квадрат, площадь фигуры достигнет наибольшей величины. Она будет равна тогда 10 х 10 = 100 кв. верст.

Легко видеть, что этот квадрат действительно превосходит по площади любой прямоугольник одинакового с ним периметра. Пахому следовало идти по сторонам квадрата, чтобы получить участок наибольшей площади – на 22 кв. версты больше, чем он успел охватить.