Бесконечные «числа»

Существуют и более длинные группы цифр, которые, находясь на конце чисел, сохраняются и в их произведении. Число таких групп цифр, как мы покажем, бесконечно велико.

Мы знаем двузначные группы цифр, обладающие этим свойством: это 25 и 76. Для того чтобы найти трехзначные группы, нужно приписать к числу 25 или 76 спереди такую цифру, чтобы полученная трехзначная группа цифр тоже обладала требуемым свойством.

Какую же цифру следует приписать к числу 76? Обозначим ее через к. Тогда искомое трехзначное число изобразится:

100 k + 76.

Общее выражение для чисел, оканчивающихся этой группой цифр, таково:

1000а + 100А: + 76, 10006 + 100А: + 76 и т. д.

Перемножим два числа этого вида; получим:

1 000 000 ab + 100 000 ak + 100 000 bk + 76 000 a + 76 000 b + 10 000 k 2 + 15 200 k + 5776.

Все слагаемые, кроме двух последних, имеют на конце не менее трех нулей. Поэтому произведение оканчивается на 100£ + 76, если разность

15 200 k + 5776 – (100 k + 76) = 15 100 k + 5700 = 15 000 k + 5000 + 100 · ( k + 7)

делится на 1000. Это, очевидно, будет только при к= 3.

Итак, искомая группа цифр имеет вид 376. Поэтому и всякая степень числа 376 оканчивается на 376. Например:

3762= 14 1 376.

Если мы теперь захотим найти четырехзначную группу цифр, обладающую тем же свойством, то должны будем приписать к 376 еще одну цифру спереди. Если эту цифру обозначим через l , то придем к задаче: при каком l произведение

(10 000а + 1000 l + 376) · (10 000b + 1000 l + 376)

оканчивается на 1000 l + 376? Если в этом произведении раскрыть скобки и отбросить все слагаемые, которые оканчиваются на четыре нуля и более, то останутся члены

752 000 l + 141 376.

Произведение оканчивается на 1000 l + 376, если разность

752 000 l + 141 376 – (1000 l + 376) = 751 000 l + 141 000 = (750 000 l + 140 000) + 1000 · ( l + 1)

делится на 10 000. Это, очевидно, будет только при l = 9.

Искомая четырехзначная группа цифр 9376. Полученную четырехзначную группу цифр можно дополнить еще одной цифрой, для чего нужно рассуждать точно так же, как и выше. Мы получим 09 376. Проделав еще один шаг, найдем группу цифр 109 376, затем 7 109 376 и т. д.

Такое приписывание цифр слева можно производить неограниченное число раз. В результате мы получим «число», у которого бесконечно много цифр:

…7 109 376.

Подобные «числа» можно складывать и умножать по обычным правилам: ведь они записываются справа налево, а сложение и умножение («столбиком») также производятся справа налево, так что в сумме и произведении двух таких чисел можно вычислять одну цифру за другой – сколько угодно цифр.

Интересно, что написанное выше бесконечное «число» удовлетворяет, как это ни кажется невероятным, уравнению

х2 = х

В самом деле, квадрат этого «числа» (т. е. произведение его на себя) оканчивается на 76, так как каждый из сомножителей имеет на конце 76; по той же причине квадрат написанного «числа» оканчивается на 376; оканчивается на 9376 и т. д. Иначе говоря, вычисляя одну за другой цифры «числа» х2, где х =…7 109 376, мы будем получать те же цифры, которые имеются в числе х, так что х2 = х.

Мы рассмотрели группы цифр, оканчивающиеся на 76[61]. Если аналогичные рассуждения провести для групп цифр, оканчивающихся на 5, то мы получим такие группы цифр:

5, 25, 625, 0625, 90 625, 890 625, 2 890 625 и т. д.

В результате мы сможем написать еще одно бесконечное «число»

…2 890 625,

также удовлетворяющее уравнению х2=х. Можно было бы показать, что это бесконечное «число» «равно»

Полученный интересный результат на языке бесконечных «чисел» формулируется так: уравнение х2 = х имеет (кроме обычныхх = 0 их = 1) два «бесконечных» решения:

x=…l 109 376 их =…2 890 625,

а других решений (в десятичной системе счисления) не имеет.