Четырьмя двойками

ЗАДАЧА

Сделаем следующий шаг в развитии задач рассматриваемого рода и поставим наш вопрос для четырех двоек.

При каком расположении четыре двойки изображают наибольшее число?

РЕШЕНИЕ

Возможны 8 комбинаций:

Какое же из этих чисел наибольшее?

Займемся сначала верхним рядом, т. е. числами в двухъярусном расположении.

Первое – 2222, – очевидно меньше трех прочих. Чтобы сравнить следующие два —

2222 и 2222,

преобразуем второе из них:

2222 = 22211 = (222)11 = 48411.

Последнее число больше, нежели 2222, так как и основание, и показатель у степени 48411 больше, чем у степени 2222.

Сравним теперь 2222 с четвертым числом первой строки – с 2222. Заменим 2222 большим числом 3222 и покажем, что даже это большее число уступает по величине числу 2222. В самом деле,

3222=(25)22= 2110

– степень меньшая, нежели 2222.

Итак, наибольшее число верхней строки – 2222. Теперь нам остается сравнить между собой пять чисел – сейчас полученное и следующие четыре:

Последнее число, равное всего 216, сразу выбывает из состязания. Далее, первое число этого ряда, равное 224 и меньшее, чем 324 или 220, меньше каждого из двух следующих. Подлежат сравнению, следовательно, три числа, каждое из которых есть степень 2. Больше, очевидно, та степень 2, показатель которой больше. Но из трех показателей

222,484 и 220+2 (=210·2·22 ≈ 106·4)

последний – явно наибольший.

Поэтому наибольшее число, какое можно изобразить четырьмя двойками, таково:

Не обращаясь к услугам логарифмических таблиц, мы можем составить себе приблизительное представление о величине этого числа, пользуясь приближенным равенством

210 ≈ 1000.

В самом деле,

Итак, в этом числе – свыше миллиона цифр.