Треугольник Бинга

Рассмотрим одно из приближенных решений задачи

о квадратуре круга, очень удобное для надобностей практической жизни.

Способ состоит в том, что вычисляют угол а (рис. 17), под которым надо провести к диаметру АВ хорду АС = х, являющуюся стороной искомого квадрата. Чтобы узнать величину этого угла, придется обратиться к тригонометрии:

где r — радиус круга.

Значит, сторона искомого квадрата x = 2r cos α, площадь же его равна 4 r 2cos2α. С другой стороны, площадь квадрата равна r 2 – площади данного круга.

Следовательно,

4 r 2cos2α = π r 2,

откуда

По таблицам находим:

a = 27°36′.

Итак, проведя в данном круге хорду под углом 27°36′ к диаметру, мы сразу получаем сторону квадрата, площадь которого равна площади данного круга. Практически для этого заготовляют чертежный треугольник (этот удобный способ был предложен в 1836 г. русским инженером Бингом; упомянутый чертежный треугольник носит по имени изобретателя название «треугольник Бинга»), один из острых углов которого 27°36′ (а другой – 62°24′). Располагая таким треугольником, можно для каждого данного круга сразу находить сторону равновеликого ему квадрата.

Рис. 17. Способ русского инженера Бинга (1836 г.)

Для желающих изготовить себе такой чертежный треугольник полезно следующее указание.

Так как тангенс угла 27°36′ равен 0,523, или

, то катеты такого треугольника относятся, как 23:44. Поэтому, изготовив треугольник, один катет которого, например, 22 см, а другой 11,5 см, мы будем иметь то, что требуется. Само собой разумеется, что таким треугольником можно пользоваться и как обыкновенным чертежным.