Определение величины данного угла без всяких измерений

Для измерения углов на местности нам нужен хотя бы компас, а иной раз достаточно и собственных пальцев или спичечной коробки. Но может возникнуть необходимость измерить угол, нанесенный на бумагу, на план или на карту.

Разумеется, если есть под руками транспортир, то вопрос решается просто. А если транспортира нет, например в походных условиях? Геометр не должен растеряться и в этом случае. Как бы вы решили следующую задачу?

ЗАДАЧА Изображен угол АОВ (рис. 6), меньший 180°. Определить его величину без измерений.

РЕШЕНИЕ

Можно было бы из произвольной точки стороны ВО опустить перпендикуляр на сторону АО, в получившемся прямоугольном треугольнике измерить катеты и гипотенузу, найти синус угла, а затем и величину самого угла. Но такое решение задачи не соответствовало бы жесткому условию – ничего не измерять!

Рис. 6. Как определить величину изображенного угла ЛОВ, пользуясь только циркулем?

Воспользуемся решением, предложенным в 1946 г. 3. Рупейка из Каунаса.

Из вершины О, как из центра, произвольным раствором циркуля построим полную окружность. Точки С и D ее пересечения со сторонами угла соединим отрезком прямой.

Теперь от начальной точки С на окружности будем откладывать последовательно при помощи циркуля хорду CD в одном и том же направлении до тех пор, пока ножка циркуля опять совпадет с исходной точкой С.

Откладывая хорды, мы должны считать, сколько раз за это время будет обойдена окружность и сколько раз будет отложена хорда.

Допустим, что окружность мы обошли п раз и за это время S раз отложили хорду CD. Тогда искомый угол будет равен

Действительно, пусть данный угол содержит х°; отложив на окружности хорду CD S раз, мы как бы увеличили угол х° в S раз, но так как окружность при этом оказалась пройденной п раз, то этот угол составит 360° · п, т. е. х°– S = 360° · п; отсюда

Для угла, изображенного на чертеже, п = 3, S = 20 (проверьте!), следовательно,

. При отсутствии циркуля окружность можно описать при помощи булавки и полоски бумаги; хорду можно откладывать при помощи той же бумажной полоски.