Пари

В столовой дома отдыха зашла за обедом речь о том, как вычисляется вероятность событий. Молодой математик, оказавшийся среди обедающих, вынул монету и сказал:

– Кидаю на стол монету, не глядя. Какова вероятность, что она упадет гербом вверх?

– Объясните сначала, что значит «вероятность», – раздались голоса. – Не всем ясно.

– О, это очень просто! Монета может лечь на стол двояко: вот так – гербом вверх и вот так – гербом вниз.

Всех случаев здесь возможно только два. Из них для интересующего нас события благоприятен лишь один случай. Теперь находим отношение

Дробь 

и выражает «вероятность» того, что монета упадет гербом вверх.

– С монетой-то просто, – вмешался кто-то. – А вы рассмотрите случай посложней, с игральной костью, например.

– Давайте рассмотрим, – согласился математик. – У нас игральная кость, кубик с цифрами на гранях. Какова вероятность, что брошенный кубик упадет определенной цифрой вверх, скажем – вскроется шестеркой? Сколько здесь всех возможных случаев? Кубик может лечь на любую из своих шести граней; значит, возможно всего 6 случаев. Из них благоприятен нам только один: когда вверху шестерка. Итак, вероятность получится отделения 1 на 6. Короче сказать, она выражается дробью

.

– Неужели можно вычислить вероятность во всех случаях? – спросила одна из отдыхающих. – Возьмите такой пример. Я загадала, что первый прохожий, которого мы увидим из окна столовой, будет мужчина. Какова вероятность, что я отгадала?

– Вероятность, очевидно, равна половине, если только мы условимся и годовалого мальчика считать за мужчину. Число мужчин на свете равно числу женщин.

– А какова вероятность, что первые двое прохожих окажутся оба мужчины? – спросил один из отдыхающих.

– Этот расчет немногим сложнее. Перечислим, какие здесь вообще возможны случаи. Во-первых, возможно, что оба прохожих будут мужчины. Во-вторых, что сначала покажется мужчина, за ним женщина. В-третьих, наоборот: что раньше появится женщина, потом мужчина. И, наконец, четвертый случай: оба прохожих – женщины. Итак, число всех возможных случаев – 4. Из них благоприятен, очевидно, только один случай – первый. Получаем для вероятности дробь

. Вот ваша задача и решена.

– Понятно. Но можно поставить вопрос и о трех мужчинах: какова вероятность, что первые трое прохожих все окажутся мужчины?

– Что же, вычислим и это. Начнем опять с подсчета возможных случаев. Для двоих прохожих число всех случаев равно, мы уже знаем, четырем. С присоединением третьего прохожего число возможных случаев увеличивается вдвое, потому что к каждой из 4 перечисленных группировок двух прохожих может присоединиться либо мужчина, либо женщина. Итого, всех случаев возможно здесь 4 х 2 = 8. А искомая вероятность очевидно равна

, потому что благоприятен событию только 1 случай. Здесь легко подметить правило подсчета: в случае двух прохожих мы имели вероятность 

; в случае трех 

; в случае четырех вероятность равна произведению четырех половинок и т. д. Вероятность все уменьшается, как видите.

– Чему же она равна, например, для десятка прохожих?

– То есть какова вероятность, что первые десять прохожих все подряд окажутся мужчинами? Вычислим,

как велико произведение десяти половинок. Это

, менее одной тысячной доли. Значит, если вы бьетесь о заклад, что это случится, и ставите 1 рубль, то я могу ставить 1000 рублей за то, что этого не произойдет.

– Выгодное пари! – заявил чей-то голос. – Я бы охотно поставил рубль, чтобы получить возможность выиграть целую тысячу.

– Но имеется тысяча шансов против вашего одного, учтите и это.

– Ничего не значит. Я бы рискнул рублем против тысячи даже и за то, что сотня прохожих окажутся все подряд мужчинами.

– А вы представляете себе, как мала вероятность такого события? – спросил математик.

– Одна миллионная или что-нибудь в этом роде?

– Неизмеримо меньше! Миллионная доля получится уже для 20 прохожих. Для сотни прохожих будем иметь… Дайте-ка, я прикину на бумажке. Биллионная… Триллионная… Квадрильонная… Ого! Единица с тридцатью нулями!

– Только всего?

– Вам мало 30 нулей? В океане нет и тысячной доли такого числа мельчайших капелек.

– Внушительное число, что и говорить! Сколько же вы поставите против моего рубля?

– Ха-ха!.. Все! Все, что у меня есть.

– Все – это слишком много. Ставьте на кон ваш велосипед. Ведь не поставите?

– Почему же нет? Пожалуйста! Пусть велосипед, если желаете. Я нисколько не рискую.

– И я не рискую. Не велика сумма рубль. Зато могу выиграть велосипед, а вы почти ничего.

– Да поймите же, что вы наверняка проиграете! Велосипед никогда вам не достанется, а рубль ваш можно сказать уже в моем кармане.

– Что вы делаете! – удерживал математика приятель. – Из-за рубля рискуете велосипедом. Безумие!

– Напротив, – ответил математик, – безумие ставить хотя бы один рубль при таких условиях. Верный ведь проигрыш! Уже лучше прямо выбросить рубль.

– Но один-то шанс все же имеется?

– Одна капля в целом океане. В десяти океанах! Вот ваш шанс. А за меня десять океанов против одной капельки. Мой выигрыш так же верен, как дважды два – четыре.

– Увлекаетесь, молодой человек, – раздался спокойный голос старика, все время молча слушавшего спор. – Увлекаетесь…

– Как? И вы, профессор, рассуждаете по-обывательски?

– Подумали ли вы о том, что не все случаи здесь равновозможны? Расчет вероятности правилен лишь для каких событий? Для равновозможных, не так ли? А в рассматриваемом примере… Впрочем, – сказал старик, прислушиваясь, – сама действительность, кажется, сейчас разъяснит вам вашу ошибку. Слышна военная музыка, не правда ли?

– Причем тут музыка?.. – начал было молодой математик и осекся. На лице его выразился испуг. Он сорвался с места, бросился к окну и высунул голову.

– Так и есть! – донесся его унылый возглас. – Проиграно пари! Прощай мой велосипед…

Через минуту всем стало ясно, в чем дело. Мимо окон проходил батальон солдат.