Дуальность в теории струн

Следуя Виттену, начнём с анализа одной из пяти теорий, например теории струн типа I, и предположим, что все её девять пространственных измерений являются плоскими и несвёрнутыми. Такое предположение, разумеется, совершенно нереалистично, но оно делает анализ проще; случай свёрнутых измерений будет рассмотрен немного ниже. Примем сначала, что константа связи струны много меньше 1. В этом случае справедливы методы теории возмущений, и многие конкретные характеристики теории могут быть (и были) изучены довольно точно. Если мы будем увеличивать константу связи, но следить, чтобы она оставалась гораздо меньше 1, методы теории возмущений будут оставаться справедливыми. Однако конкретные характеристики теории несколько изменятся. Например, численные параметры рассеяния двух струн станут немного иными, так как изображённые на рис. 12.6 диаграммы с петлями при увеличении константы связи дадут бо?льшие вклады. Несмотря на эти изменения численных параметров, физическое содержание теории останется неизменным, если величина константы связи соответствует области применимости теории возмущений.

Когда значение константы связи струны типа I превысит единицу, методы теории возмущений станут неприменимыми, так что мы сфокусируем наше внимание на ограниченном наборе масс и зарядов БПС-состояний, которые мы ещё будем в состоянии понять. Согласно гипотезе Виттена, подтверждённой затем в совместной работе с Джо Польчински из университета Санта Барбары, свойства теории струн типа I в области сильной связи в точности совпадут с известными свойствами теории O-гетеротической струны со слабой связью. Иными словами, если константа связи в теории струн типа I велика, конкретные массы и заряды, которые мы умеем вычислять, в точности совпадут с массами и зарядами в теории O-гетеротической струны с малой константой связи. Это явно указывает на то, что две теории струн, которые, подобно воде и льду, сначала казались совершенно разными, в действительности дуальны друг другу. При этом появляется убедительный довод в пользу того, что физические процессы в теории струн типа I для больших констант связи идентичны физическим процессам в теории O-гетеротической струны для малых констант связи. Схожие соображения наталкивают на мысль, что справедливо и обратное. Физические процессы в теории струн типа I для малых констант связи идентичны физическим процессам в теории O-гетеротической струны для больших констант связи.^{83} Несмотря на то, что при анализе приближёнными методами теории возмущений две теории струн кажутся не связанными, при изменении констант связи происходит переход одной из них в другую, подобный взаимным превращениям воды и льда.

Этот существенно новый результат — возможность описания физических свойств одной теории в области сильной связи в рамках другой теории в области слабой связи — называют дуальностью сильной и слабой связи. Как и рассмотренные выше примеры дуальности, эта дуальность показывает, что две теории на самом деле не являются разными. Точнее, они дают различные описания одной и той же лежащей в их основе теории. В отличие от «тривиальной» дуальности английского и китайского языков, дуальность сильной и слабой связи даёт мощный инструмент исследования теорий. Если константа связи в одной из двух теорий мала, можно анализировать физические свойства с помощью хорошо известных приёмов теории возмущений. Однако если константа связи велика, и теория возмущений неприменима, можно перейти к дуальной теории и вернуться к методам теории возмущений. Переход позволяет использовать количественные методы применительно к ситуациям, анализ которых, как казалось ранее, выходит за рамки наших возможностей.

Строгое доказательство того, что физические процессы в теории струн типа I для малых констант связи идентичны физическим процессам в теории O-гетеротической струны для больших констант связи и обратно, является очень сложной и до сих пор не решённой задачей. Одна из двух предположительно дуальных теорий не может быть исследована по теории возмущений, так как её константа связи слишком велика. Это не позволяет провести прямой расчёт многих физических характеристик теории. И именно этим объясняется мощный потенциал предполагаемой дуальности: если гипотеза дуальности верна, она даёт новый инструмент исследования теории в области сильной связи. Нужно лишь использовать теорию возмущений для дуальной теории в области слабой связи.

Даже если нельзя доказать, что две теории дуальны, полное согласие результатов, которые можно получить строго, является неоспоримым свидетельством в пользу гипотезы дуальности сильной и слабой связи теории типа I и теории O-гетеротической струны. Эта гипотеза проходила проверку с использованием всё более изощрённых вычислительных методов, и неизменно находила своё подтверждение. Большинство теоретиков, занимающихся струнами, убеждены в справедливости гипотезы дуальности.

Тем же самым методом можно изучить свойства других теорий струн, например, типа IIB. Согласно первоначальному предположению Халла и Таунсенда, которое затем было подтверждено исследованиями ряда физиков, в этой теории происходит нечто столь же необычное. При увеличении константы связи те физические свойства, которые ещё можно определить, начинают совпадать со свойствами той же теории струн типа IIB в области слабой связи. Другими словами, теория струн типа IIB является самодуальной.^{84} Тщательный анализ показывает, что теория струн типа IIB с константой связи, большей 1, совершенно идентична той же теории струн с константой связи, обратной изначальной (и, следовательно, меньшей 1). Ситуация аналогична рассмотренному выше стягиванию циклического измерения до планковской длины: если уменьшать значение константы связи в теории типа IIB до значения, меньшего 1, то вследствие самодуальности мы придём к эквивалентной теории типа IIB с константой связи, большей 1.