Зеркальная перспектива

На протяжении нескольких лет после 1987 г., когда Яу сделал своё наблюдение, он часто советовал мне поразмыслить о возможных физических применениях флоп-перестроек. Я отнекивался. Мне казалось, что флоп-перестройки относятся только к абстрактной математике и не имеют никакого отношения к теории струн. Действительно, из главы 10, в которой было установлено существование минимального радиуса циклического измерения, можно сделать вывод, что в теории струн сфера на рис. 11.3 не может полностью стянуться к выколотой точке. Однако, как тоже отмечено в главе 10, если стягивается часть пространства (в данном случае — сферическая часть многообразия Калаби — Яу), а не всё циклическое измерение, то аргументы, которые позволяют различать малые и большие радиусы, не применимы буквально. Тем не менее, возможность разрыва структуры пространства казалась маловероятной, даже при том, что запрещающие флоп-перестройку соображения не выдерживали серьёзной критики.

Уже позже, в 1991 г., норвежский физик Энди Люткен и мой однокурсник по учёбе в Оксфорде, а ныне профессор университета Дьюка, Пол Аспинуолл, задались вопросом, который впоследствии оказался очень интересным. Если перестраивается пространственная структура компоненты Калаби — Яу нашей Вселенной, как это будет выглядеть с точки зрения зеркального пространства Калаби — Яу? Чтобы понять, почему возник такой вопрос, нужно вспомнить, что физические свойства зеркальной пары пространств Калаби — Яу (если эти пространства используются в качестве дополнительных измерений) идентичны, но сложность математических расчётов, необходимых для установления этих физических свойств, может сильно отличаться. Аспинуолл и Люткен предположили, что математически сложный переход между рис. 11.3 и 11.4 может описываться гораздо проще в терминах зеркальных пространств, и физический смысл этого перехода станет гораздо понятнее.

В момент проведения этих исследований ещё не было достаточного понимания зеркальной симметрии, чтобы иметь возможность ответить на поставленный вопрос. И всё же Аспинуолл и Люткен отметили, что в зеркальном описании нет ничего такого, что свидетельствовало бы об абсурдных физических последствиях разрывов пространства при флоп-перестройках. Примерно в то же время мы с Плессером, развивая найденную нами идею зеркальных пар многообразий Калаби — Яу (см. главу 10), неожиданно сами столкнулись с необходимостью анализа флоп-перестроек. Математикам хорошо известен тот факт, что склеивание различных точек (подобное показанному на рис. 10.4), которое использовалось нами для построения зеркальных пар, приводит к геометрическим следствиям, идентичным перетягиванию и проколам на рис. 11.3 и 11.4. В соответствующей физической формулировке мы с Плессером, однако, не нашли явных противоречий. Более того, вдохновлённые результатами Аспинуолла и Люткена (а также результатом их предыдущей совместной работы с Грэмом Россом), мы пришли к выводу, что математически перетягивание можно «отреставрировать» двумя различными способами. Один из них приводит к пространству Калаби — Яу, соответствующему рис. 11.3а, а другой — к пространству, соответствующему рис. 11.4 г. Это подсказало нам, что переход от рис. 11.3а к рис. 11.4 г действительно может иметь место в реальном мире.

Таким образом, к концу 1991 г. у некоторых физиков, занимающихся теорией струн, возникло ясное ощущение того, что ткань пространства может разрываться. Но ни у кого из них не было технических методов, которые позволили бы твёрдо установить или опровергнуть справедливость этой замечательной гипотезы.

Медленный прогресс

В течение 1992 г. мы с Плессером время от времени возвращались к попыткам доказать, что структура пространства может подвергаться перестройкам с разрывами пространства. Наши расчёты частично подтверждали эту гипотезу в частных случаях, но строгого доказательства найти не удавалось. Весной Плессер съездил с докладом в Принстонский институт перспективных исследований. Там он встретился с Виттеном и в частной беседе рассказал ему о наших попытках дать интерпретацию математической процедуры флоп-перестройки с разрывом пространства в рамках теории струн. После того, как Плессер изложил свои соображения, Виттен отвернулся от доски и некоторое время, возможно минуту или две, молча смотрел в окно своего кабинета. Затем он повернулся к Плессеру и сказал, что если наши идеи окажутся правильными, то «это будет впечатляюще». Такая реакция Виттена побудила нас работать с удвоенной энергией. Однако вскоре исследования застопорились, и мы обратились к другим вопросам в теории струн.

Даже работая над другими задачами, я постоянно ловил себя на том, что возвращаюсь к мысли о возможности перестроек с разрывами пространства. Месяц от месяца во мне укреплялась уверенность, что они должны быть неотъемлемой частью теории струн. Из расчётов, сделанных ранее вместе с Плессером, а также из стимулирующих обсуждений с Дэвидом Моррисоном, математиком университета Дьюка, казалось, следовало, что возможность перестроек является естественным следствием зеркальной симметрии. Во время моего пребывания в Дьюке Моррисон и я, используя результаты гостившего в то же время в Дьюке Шелдона Каца из Оклахомского университета, наметили стратегию обоснования появления флоп-перестроек в теории струн. Однако когда мы приступили к вычислениям, оказалось, что они крайне громоздки: даже с использованием самого быстрого в мире компьютера на расчёты ушла бы сотня лет. Мы продвигались вперёд, но нам явно не хватало новой идеи, которая значительно повысила бы эффективность нашего вычислительного метода. Не подозревая об этом, Виктор Батырев, математик из университета города Эссен, дал нам такую идею в двух своих статьях, опубликованных весной и летом 1992 г.

Батырев очень интересовался зеркальной симметрией, особенно после успешного решения Канделасом и соавторами описанной в конце главы 10 задачи о подсчёте числа сфер. Однако Батырев, будучи математиком, был сбит с толку приёмами, которые мы с Плессером использовали для нахождения зеркальных пар пространств Калаби — Яу. Хотя в нашем подходе применялись известные теоретикам методы, Батырев позже признался мне, что наша статья произвела на него впечатление «чёрной магии». Это было следствием исторически сложившихся культурных различий между математикой и физикой, и по мере размытия теорией струн границ каждой науки различия в языке, методах и стиле исследований становились всё более явными. Физики больше похожи на композиторов-авангардистов, стремящихся обойти устоявшиеся правила и расширить границы дозволенного при поиске решения задачи. Математики же больше похожи на классических композиторов, обычно скованных рамками гораздо более жёсткой схемы и с неохотой воспринимающих переход к следующему шагу до тех пор, пока предыдущие шаги не были обоснованы со всей строгостью. У каждого подхода свои преимущества и недостатки, и каждый из них обладает своими уникальными возможностями для творческих исследований. Так же, как современную музыку нелепо сравнивать с классической, эти подходы нельзя сравнивать, чтобы выяснить, какой из них лучше — используемые методы в значительной степени определяются вкусами и подготовкой.

Батырев решил перевести схему построения зеркальных многообразий на более понятный математический язык, и это ему удалось. Под впечатлением белее ранней работы тайваньского математика Ши-Шир Роана, Батыреву удалось сформулировать последовательную математическую процедуру построения пар пространств Калаби — Яу, являющихся зеркальными близнецами друг друга. Его процедура сводится к нашей с Плессером, если применять её для рассмотренных нами примеров, но приводит к более общей формулировке в терминах знакомых математикам понятий.

Оборотной стороной медали было то, что в работах Батырева использовались знания из неизвестных большинству физиков областей математики. Мне, например, удалось уловить суть его аргументов, но понимание многих важнейших моментов давалось с огромным трудом. Одно, тем не менее, было ясно: методы, описанные в его статье, при правильном их осознании и применении вполне могут дать второе дыхание исследованиям флоп-перестроек с разрывом пространства.

К концу лета, находясь под впечатлением результатов этих работ, я решил вернуться к задаче о флоп-перестройках и сконцентрировать на ней всё своё внимание. От Моррисона я узнал, что он собирается провести год в Институте перспективных исследований, а Аспинуолл, по моим сведениям, тоже будет там на стажировке. После нескольких телефонных звонков и переписки по электронной почте я договорился, что тоже проведу осень 1992 г. в этом институте.