Комбинация сил
Еще будучи двадцатилетним, Ньютон обратил внимание на очень важный и глубокий вопрос. Законы движения применимы только к Земле или они справедливы и для небесных тел? Наблюдая на ферме матери падение яблока с дерева[15], он стал задаваться вопросом, действуют ли на Луну те же силы, что и на яблоко.
На первый взгляд могло бы показаться, что Луна не может быть во власти той же самой силы, что и яблоко, поскольку яблоко упало на Землю, а Луна этого не делает. Конечно, если бы одна и та же самая сила была приложена к обоим этим объектам, то она вызвала бы одно и то же ускорение, и они бы оба упали. Однако это — упрощение. Что, если Луна действительно находится во власти той же самой силы, что и яблоко, и поэтому перемещается вниз к Земле; но, кроме того, что, если Луна также подвержена второму движению? Что, если комбинацией этих двух движений является такое, которое заставляет Луну кружиться над Землей и никогда не падать на нее?
Это понятие полного движения, составленного из двух или более движений в различных направлениях, было весьма нелегким для восприятия концепцией для ученых того времени. Когда Николай Коперник (1473–1543) предположил, что Земля вращается вокруг Солнца (а не наоборот), некоторые из наиболее ярых возражений были те, что, если Земля вращается на своей оси и (что еще хуже) перемещается в пространстве в своем вращении вокруг Солнца, на поверхности Земли невозможно будет находиться чему-либо подвижному. Любой, кто подпрыгнул бы в воздух, опустился бы на много ярдов дальше, так как земля под ним передвигалась бы в то время, как он был в воздухе. Спорящие таким образом были настолько уверены в очевидности своих аргументов, что даже не принимали никаких возражений.
Те, кто принимал коперниковское понятие о движении Земли, должны были доказать, что для объекта действительно возможно обладать двумя движениями сразу: то есть что прыгающий человек во время перемещения вверх и вниз может также двигаться вместе с поворачивающейся Землей и поэтому опускается на то же самое место, с которого он прыгал вверх.
Галилео показал, что объект, брошенный вниз с верхушки мачты двигающегося судна, упал в точку у основания мачты. Судно не «выехало» из-под падающего объекта, и он не упал в море. Следовательно, падающий объект, в то время как он перемещался вниз, должно быть, также участвовал и в горизонтальном движении судна. На практике Галилео не пробовал выполнить описанное выше, он предложил то, что сегодня мы называем «мысленный эксперимент». Но даже при том, что данный эксперимент был предложен только в мысленной форме, он был крайне убедительным; суда плавали по морям в течение тысяч лет, и множество предметов, должно быть, было сброшено с верхушек мачт в течение всех этих лет, и все же ни один моряк никогда не сообщал о том, что судно выплыло из-под падающего предмета. (И конечно, в наше время мы можем щелкать монетами о край бьющей струи и ловить их, поскольку они снижаются, без того, чтобы переместить нашу руку. Монета участвует в движении струи, а также — в перемещении вверх и вниз.)
Почему тогда некоторые ученые XVI и XVII столетий уверенно утверждали, что объекты не могут обладать двумя различными движениями одновременно? Очевидно, потому, что они все еще «страдали греческой болезнью» — принимать за основу кажущиеся явными основные предположения и не всегда испытывать необходимость проверить эти заключения в условиях реальной Вселенной.
Например, ученые XVI столетия рассуждали, что снаряд, которым выстрелили из орудия или катапульты, потенциально подчиняется воздействию двух движений: во-первых, импульса, данного ему орудием или катапультой и, во-вторых, его «естественного движения» к земле. Предположив для начала, что объект не может обладать двумя движениями одновременно, можно сделать справедливый вывод, что одно движение должно закончиться перед тем, как начнется второе. Другими словами, утверждается, что пушечное ядро будет перемещаться по прямой в направлении выстрела, пока импульс, вызванный взрывом пороха, не исчерпает себя, а затем — упадет вниз, по прямой.
Галилео придерживался весьма отличной от такой точки зрения. Безусловно, снаряд будет перемещаться вперед, в направлении выстрела из орудия. Больше того — он будет делать это с постоянной скоростью, так как сила взрыва пороха была приложена к нему только один раз и больше не прикладывалась. (Как позже объяснил Ньютон — без непрерывной силы не существует и непрерывного ускорения.) Кроме того, однако, пушечное ядро начинает снижаться, как только оно покидает ствол орудия, в соответствии с законами падающих тел, причем с постоянно увеличивающейся скоростью, увеличивающейся из-за постоянного ускорения (вызванного благодаря непрерывному присутствию постоянной силы тяжести). Легко показать геометрическими методами, что объект, который передвигается в одном направлении с постоянной скоростью, а в другом — со скоростью, которая возрастает прямо пропорционально со временем, будет двигаться по кривой, называемой «парабола». Галилео также доказал, что максимальная дальность полета пушечного ядра будет достигаться в том случае, если орудие будет направлено вверх под углом 45° к земле.
Орудие, направленное под некоторым углом к горизонту, способно было бы доставить пушечное ядро на одно расстояние, если ранние представления о движении пушечного ядра были правильны, и на совсем другое расстояние в том случае, если верными были взгляды Галилео. Показать, что именно подход Галилео был верным, не представляло особой трудности.
Комбинация движений
Действительно, во все времена стрелки, которые, возможно, и не понимали много в теории, нацеливали свои орудия так, чтобы воспользоваться преимуществами параболического движения пушечного ядра[16]. Короче говоря, возможность тела обладать двумя или более движениями одновременно ни разу не была подвергнута сомнению со времен Галилео.
Каким же образом можно сложить отдельные движения и получить результирующую этих движений? Это может быть сделано при помощи векторного сложения, по методу, наиболее легко представляемому в геометрической форме. Рассмотрим два движения в различных направлениях, эти два направления находятся под углом ? друг к другу. (Символ ? — греческая буква «альфа». Греческие буквы вообще часто используются в физике в качестве символов, чтобы ослабить нагрузку на обычные буквы алфавита.) Эти два движения могут тогда быть представлены двумя стрелками, находящимися под углом ?, а длина этих двух стрелок пропорциональна соответствующим им скоростям. (Если одна скорость вдвое больше другой, то и соответствующая стрелка в два раза больше другой.) Если мы представим эти две стрелки как стороны параллелограмма, то результирующее движение, созданное из двух составляющих движений, может быть диагональю этого параллелограмма, которая находится в промежутке между направлениями составляющих компонентов.
Параллелограмм сил
Зная значения этих двух скоростей и угла между ними, можно вычислить значение и направление результирующей скорости даже и без геометрических построений, хотя последние всегда полезны в качестве зрительной помощи. Например, если одна скорость — 3 м/с в одном направлении, а другая — 4 м/с в направлении перпендикулярном (под прямым углом к) первому, то результирующая скорость — 5 м/с, в направлении, которое составляет угол менее чем 37° с большим компонентом и более чем 53° — с меньшим.
Таким же образом данная конкретная скорость может быть разложена на две составляющие скорости. Если мы выразим данную скорость как диагональ параллелограмма, то две из смежных сторон параллелограмма представят собой составляющие скорости. Это может быть проделано бесконечное число раз, так как линия, представляющая скорость или силу, может быть представлена диагональю бесконечного числа параллелограммов. Однако удобно, чтобы скорость была разложена на компоненты, которые находятся под прямыми углами друг к другу. В этом случае параллелограмм превращается в прямоугольник.
Этот метод использования параллелограмма может применяться для сложения или разложения любого количества векторов. Данный метод очень часто используется для расчета сил, и поэтому обычно его называют «параллелограммом сил».