Гравитация и большие дополнительные измерения

Ещё в 1687 г., формулируя закон всемирного тяготения, Ньютон в действительности сделал сильное утверждение относительно количества пространственных измерений. Ньютон не просто сказал, что сила притяжения между объектами уменьшается по мере увеличения расстояния между ними. Он предложил формулу, обратную квадратичную зависимость, точно описывающую, как уменьшается гравитационное притяжение с увеличением расстояния между двумя объектами. Согласно этой формуле, если удвоить расстояние между объектами, то гравитационное притяжение между ними снизится в 4 раза (2²); если утроить это расстояние, то притяжение уменьшится в 9 раз (3²); а если учетверить расстояние, то гравитационное притяжение станет слабее в 16 раз (4²); в общем случае, гравитационная сила падает пропорционально квадрату расстояния между объектами. Как стало совершенно очевидно за последние несколько сотен лет, эта формула прекрасно работает.

Но почему сила гравитации подчиняется именно квадратичной зависимости? Почему бы ей не падать пропорционально кубу расстояния (так что с удвоением расстояния сила уменьшалась бы в 8 раз), либо четвёртой степени (так что с удвоением расстояния сила уменьшалась бы в 16 раз), либо, возможно, просто пропорционально расстоянию между объектами (так что с удвоением расстояния сила уменьшалась бы в 2 раза)? Ответ напрямую связан с количеством измерений пространства.

Чтобы это понять, можно, например, думать о количестве гравитонов, испускаемых и поглощаемых объектами в зависимости от расстояния между ними, или о том, насколько кривизна пространства-времени уменьшается по мере увеличения расстояния между объектами. Но мы поступим проще, взяв на вооружение старый подход, который быстро и наглядно приведёт нас к правильному ответу. Посмотрим на рисунок (рис. 13.4а), схематически иллюстрирующий гравитационное поле массивного объекта (например, Солнца), во многом подобный рис. 3.1, на котором представлено магнитное поле стержневого магнита. Отметим важное отличие: в то время как силовые линии магнитного поля простираются от северного полюса магнита к его южному полюсу, линии гравитационного поля однородно расходятся во всех направлениях от одной точки, схематически представляющей Солнце. Сила гравитационного притяжения, испытываемого другим объектом (представим себе спутник, вращающийся по орбите вокруг Солнца), будет ощущаться пропорционально плотности линий поля в месте нахождения этого объекта. Чем больше линий поля пронизывают спутник (как на рис. 13.4б), тем больше испытываемое им гравитационное притяжение.

Рис. 13.4. (а) Гравитационное притяжение между двумя объектами, такими как Солнце и спутник, обратно пропорционально квадрату расстоянии между ними. Причина кроется в том, что линии гравитационного поля Солнца расходятся однородно во всех направлениях (б) и, следовательно, их плотность на расстоянии d обратно пропорциональна площади воображаемой сферы радиуса d, схематически изображённой на рис. (в), а эта площадь согласно элементарной геометрии пропорциональна d²

Теперь мы можем объяснить, откуда берётся обратная квадратичная зависимость в законе Ньютона. Воображаемая сфера с центром на Солнце, проходящая через место нахождения спутника (рис. 13.4в), имеет площадь (подобно площади поверхности любой сферы в трёхмерном пространстве), пропорциональную квадрату её радиуса, т. е. квадрату расстояния между Солнцем и спутником. Значит, плотность линий гравитационного поля, проходящих через сферу (суммарное количество линий, поделённое на площадь поверхности сферы), уменьшается по закону обратных квадратов с увеличением расстояния между Солнцем и спутником. Если удвоить это расстояние, то одно и то же количество линий поля будет равномерно распределено по сфере, имеющей в четыре раза большую площадь, и, следовательно, гравитационное притяжение уменьшится в 4 раза на этом расстоянии. Таким образом, обратная квадратичная зависимость в законе Ньютона является отражением геометрических свойств сфер в трёхмерном пространстве.

Но если бы Вселенная имела два или даже только одно пространственное измерение, то как изменилась бы формула Ньютона? На рис. 13.5а представлена двумерная версия ситуации с Солнцем и вращающимся спутником. Как видно, линии гравитационного поля Солнца равномерно распределяются по окружности — аналогу сферы в двумерном пространстве. Поскольку длина окружности пропорциональна её радиусу (а не квадрату радиуса), то при удвоении расстояния между Солнцем и спутником плотность линий поля уменьшается в 2 раза (а не в 4 раза), из-за чего сила гравитационного притяжения падает только в 2 раза (а не в 4). Если Вселенная имела бы только два пространственных измерения, то гравитационная сила была бы обратно пропорциональна расстоянию, а не квадрату расстояния.

Рис. 13.5. (а) Во Вселенной только с двумя пространственными измерениями гравитационная сила падает пропорционально расстоянию, поскольку линии гравитационного поля однородно распределяются по окружности, длина которой пропорциональна её радиусу. (б) В одномерной Вселенной у линий гравитационного поля совсем не было бы места для пространственного расхождения, так что гравитационная сила была бы постоянной, независимо от расстояния

Если Вселенная имела бы лишь одно пространственное измерение, как на рис. 13.5б, то закон всемирного тяготения был бы ещё проще. У линий гравитационного поля вообще бы не было места для пространственного расхождения, так что сила гравитации не уменьшалась бы с расстоянием. Если удвоить расстояние между Солнцем и спутником (при условии, что подобные объекты могли бы существовать в такой Вселенной), то спутник будет пронизывать всегда одно и то же количество линий поля и, следовательно, сила гравитации между Солнцем и спутником вообще не изменялась бы.

Ситуация, проиллюстрированая на рис. 13.4 и 13.5, напрямую распространяется на Вселенную с четырьмя, пятью, шестью и более пространственными измерениями, хотя это уже невозможно изобразить. Чем больше пространственных измерений, тем больше места для расхождения линий гравитационного поля. А чем больше места, тем всё более ощутимее падает сила гравитации с увеличением расстояния между объектами. Во Вселенной с четырьмя пространственными измерениями сила гравитации падала бы обратно пропорционально третьей степени расстояния (при удвоении расстояния сила уменьшалась бы в 8 раз); в пяти пространственных измерениях эта сила падала бы обратно пропорционально четвёртой степени расстояния (при удвоении расстояния сила уменьшалась бы в 16 раз); в шести пространственных измерениях эта сила падала бы обратно пропорционально пятой степени расстояния (при удвоении расстояния сила уменьшалась бы в 32 раза); и так далее с увеличением количества пространственных измерений Вселенной.

Вы могли бы подумать, что успешное объяснение громадного объёма данных с помощью закона обратных квадратов (от движения планет до траекторий комет) подтверждает то, что мы живём во Вселенной с тремя пространственными измерениями. Но такой вывод был бы поспешным. Нам известно, что закон обратных квадратов работает на астрономических масштабах,^{177} и мы знаем, что он работает на земных масштабах, и это согласуется с тем фактом, что на таких масштабах мы видим три пространственных измерения. Но известно ли нам, что он работает и на более мелких масштабах? Насколько он был проверен в микрокосмосе? Оказывается, эксперименты подтвердили его лишь до десятой доли миллиметра; если два объекта разделяет расстояние, превышающее десятую часть миллиметра, то сила их гравитационного притяжения точно соответствует обратной квадратичной зависимости. Но пока что экспериментаторы наталкиваются на значительные технические трудности при проверке закона всемирного тяготения на более мелких масштабах (это связано со слабостью гравитационного взаимодействия и квантовыми эффектами). Этот вопрос очень важен, поскольку отклонение от закона обратных квадратов явилось бы убедительным сигналом, указывающим на существование дополнительных измерений.

Чтобы наглядно представить это, давайте рассмотрим модельную задачу с меньшим количеством пространственных измерений, что позволит нам легко обрисовать и проанализировать всю картину. Вообразим, что мы живём в одномерной Вселенной, — точнее, мы так думаем, поскольку мы видим только одно пространственное измерение и, кроме того, столетия экспериментальных проверок показали, что сила гравитации не меняется с изменением расстояния между объектами. Также представим, что за все эти столетия закон гравитации был проверен на расстояниях вплоть до десятой доли миллиметра, но не ближе. Для меньших расстояний просто нет экспериментальных данных. Вообразим далее, что на самом деле Вселенная имеет второе, свёрнутое пространственное измерение, так что её форма похожа на туго натянутый канат Филиппа Пети, как представлено на рис. 12.5. Как это скажется на будущих более точных проверках закона гравитационного притяжения? Ответ можно получить, глядя на рис. 13.6. Как только два крохотных объекта окажутся достаточно близко друг к другу (на расстоянии порядка длины окружности свёрнутого измерения), двумерный характер пространства станет непосредственно очевиден, поскольку на этих масштабах у линий гравитационного поля будет место для расхождения (рис. 13.6а). На достаточно близком расстоянии сила гравитации окажется обратно пропорциональной расстоянию между объектами, перестав быть постоянной и не зависящей от расстояния.

Рис. 13.6. (а) Когда объекты близки, сила гравитации меняется как в двумерном пространстве. (б) На больших расстояниях гравитационное притяжение ведёт себя как в одномерном пространстве — оно постоянно

Таким образом, если бы вы были экспериментатором в этой Вселенной и разработали бы достаточно точные методы измерения гравитационного притяжения, то вот что бы вы обнаружили. Когда два объекта находятся очень близко друг к другу, на расстоянии, гораздо меньшем, чем размер свёрнутого измерения, то их гравитационное притяжение уменьшалось бы пропорционально расстоянию между ними. Но когда расстояние между объектами становится бо?льшим, чем длина окружности свёрнутого измерения, то всё бы изменилось. Теперь линиям гравитационного поля просто некуда расходиться. Они бы максимально заполнили второе свёрнутое измерение (можно сказать, они бы «насытили» его), так что начиная с этого расстояния гравитационная сила больше бы не уменьшалась, как проиллюстрировано на рис. 13.6б. Можно сравнить это насыщение с водопроводной системой в старом доме. Представьте, что вы принимаете душ в ванной комнате этого дома и только что намылили себе голову. И, вот досада, кто-то открывает кран на кухне, и напор воды падает, потому что вода теперь распределяется по двум кранам. Напор уменьшится ещё больше, если кто-то откроет кран в постирочной комнате, поскольку вода побежит и туда. Но как только все водопроводные краны в доме открыты, напор воды перестаёт падать. Хотя струя воды в душе уже не такая сильная, как вам хотелось бы, но теперь вам нечего бояться — напор воды останется постоянным, так как вода полностью распределилась по всем «дополнительным» кранам. Аналогично, как только гравитационное поле полностью распространилось по дополнительному свёрнутому измерению, сила притяжения перестаёт уменьшаться с увеличением расстояния.

Из таких данных вы могли бы сделать два вывода. Во-первых, тот факт, что гравитационное притяжение двух объектов уменьшается пропорционально расстоянию между ними, когда эти объекты очень близки друг к другу, говорит о том, что Вселенная имеет два измерения, а не одно. Во-вторых, из факта перехода к постоянной силе гравитации — факта, известного по столетиям предыдущих экспериментов, — вы могли бы заключить, что одно из измерений Вселенной свёрнуто, причём размер этого измерения по порядку величины совпадает с расстоянием, на котором происходит переход к постоянной силе. И эти результаты перевернули бы столетнюю, если не тысячелетнюю, веру в то, что казалось таким очевидным, основополагающим и не подлежащим сомнению, — веру в количество пространственных измерений.

Хотя ради простоты я привёл пример Вселенной с меньшим числом измерений, чем в нашей, но ситуация с нашим миром могла бы быть совершенно аналогичной. Столетия экспериментов подтверждают, что сила гравитации изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния, и это служит веским основанием, чтобы утверждать, что наш мир трёхмерен. Но до 1998 г. никому не удавалось измерить силу гравитации на расстояниях, меньших миллиметра (к настоящему времени, как уже говорилось, это предел отодвинут до десятой доли миллиметра). Это привело Саваса Димопулоса из Стэнфордского университета, Ниму Аркани-Хамеда (работающего сейчас в Гарвардском университете) и Гия Двали из Университета Нью-Йорка к гипотезе, что в сценарии мира на бране дополнительные измерения могут достигать миллиметра и всё же оставаться незамеченными. Эта радикальная гипотеза побудила ряд экспериментальных групп начать изучать гравитацию на субмиллиметровых расстояниях в надежде найти нарушение закона обратных квадратов, но до сих пор никаких нарушений выявлено не было вплоть до десятой доли миллиметра. Таким образом, основываясь на современных данных, можно сказать, что если мы живём внутри 3-браны, то дополнительные измерения могут достигать десятой доли миллиметра и всё же оставаться незамеченными нами.

Таково одно из самых поразительных осмыслений за последнее десятилетие. С помощью трёх негравитационных сил мы можем добраться до расстояний, составляющих миллиардную от миллиардной доли метра (10^?18 м), и никто не обнаружил никаких следов существования дополнительных измерений. Но в рамках сценария мира на бране с помощью негравитационных сил вообще невозможно найти дополнительные измерения, поскольку эти силы заперты в самой бране. Только гравитация может добраться до дополнительных измерений, и, согласно современным данным, дополнительные измерения могут достигать толщины человеческого волоса и всё же оставаться совершенно невидимыми для самых совершенных наших приборов и инструментов. Прямо сейчас, прямо рядом с вами, прямо рядом со мной, прямо рядом с кем угодно может быть дополнительное пространственное измерение — измерение помимо известных нам направлений влево/вправо, вперёд/назад и вверх/вниз; свёрнутое измерение, однако достаточно крупное, чтобы поглотить нечто с размерами толщины бумажного листа — и это измерение мы никак не можем ухватить.[82]