2. Соотношение неопределенностей

2. Соотношение неопределенностей

Физическая интерпретация новой механики ведет к очень интересным и важным следствиям, на которые впервые обратил внимание Гейзенберг, Математически они выражаются неравенствами, известными сегодня под названием соотношений неопределенности. Гейзенберг вывел эти неравенства из не коммутативности величин в своей новой квантовой механике. Чтобы пояснить их смысл, будем исходить из представления, которое дает нам волновая механика. Покажем, что эти соотношения – неизбежное следствие описанной физической интерпретации волновой механики, если предположить, что состояние частицы всегда изображается «КСИ»-волной.

Прежде всего рассмотрим плоскую монохроматическую волну, описывающую свободную частицу. Мы знаем, что этой волне соответствует вполне определенное состояние движения, в данном случае определенное значение вектора импульса. Именно это мы имеем в виду, когда говорим, что рассматриваемое состояние есть собственное состояние оператора импульса, или чистое состояние движения с определенные импульсом и, значит, также энергией. Но плоская монохроматическая волна всюду имеет постоянную амплитуду. Поэтому из принципа интерференции следует, что положение частицы совершенно неопределенно, т е. найти частицу в любой точке пространства можно с одинаковой вероятностью. Итак, мы утверждаем, что полная определенность состояния движения частицы означает согласно принципам новой механики совершенную неопределенность ее положения в пространстве. Конечно, случай, когда со свободной частицей связана плоская и монохроматическая «КСИ»-волна, совершенно особый. В общем случае «КСИ»-волны будут образовывать волновой пакет – суперпозицию некоторого числа плоских монохроматических волн. Этот волновой пакет можно локализовать в ограниченной области пространства. Таким образом, положение частицы будет определено лучше, она обязательно будет находиться в области, занятой волновым пакетом, единственной области, где амплитуда отлична от нуля.

При этом мы столкнемся с интересным свойством математического представления волнового пакета в виде интеграла Фурье. Оно заключается в том, что чем меньше размеры волнового пакета, тем шире спектральный интервал, который занимают компоненты разложения Фурье. Кратко этот вывод можно сформулировать так: чем меньше размеры волнового пакета, тем дальше он от монохроматичности. Таким образом, если обратиться к принципам интерференции и спектрального разложения, становится очевидным, что состояние движения частицы тем более неопределенно, чем лучше определено ее положение в пространстве. Сколько мы приобретаем в одном, столько теряем в другом. Наконец, обратимся к другому предельному случаю, противоположному плоской монохроматической волне. Для этого представим себе волновой пакет «КСИ»-функции бесконечно малого размера. Положение частицы при этом известно точно: мы имеем здесь дело с чистым состоянием с определенной координатой. Но в этом предельном случае волновой пакет можно представить только интегралом Фурье по всевозможным плоским монохроматическим волнам, и, исходя из наших фундаментальных принципов, мы должны сказать, что состояние движения совершенно неопределенно.

Таким образом, точное знание положения означает полное незнание состояния движения, Общий вывод заключатся в том, что фундаментальные принципы, положенные в основу физической интерпретации волновой механики, вместе с методом представления волнового пакета в виде суперпозиции монохроматических волн означают невозможность строго в один и тот же момент времени определить положение и состояние движения частицы.

Только что мы описали, правда, скорее в качественной форме, путь, который позволяет легче понять причины, приведшие Гейзенберга к соотношениям неопределенности. В более строгой форме эти же рассуждения позволяют сформулировать следующий результат: произведение неопределенности в значении координаты на неопределенность в значении соответствующей компоненты импульса всегда не меньше, чем величина порядка постоянной Планка h. Таким образом, получаются некоторые неравенства. Они показывают, что координаты частицы и соответствующей компоненты импульса не могут быть точно известны в один и тот же момент времени, и что, если неопределенность одной из двух сопряженных величин очень мала, то непременно неопределенность другой – очень велика.

Еще раз подчеркнем, что соотношения неопределенности – неизбежное следствие, с одной стороны, возможности сопоставить частице некоторую волну, с другой – общих принципов вероятностной интерпретации. Однако вместе с тем необходимо указать, что ни одно измерение никогда не может дать значений положения и импульса частицы с большей точностью, чем это позволяют соотношения неопределенности. Не будь этого, было бы невозможно (и это можно доказать) всегда сопоставить частице определенную волну. Гейзенберг и Бор провели строгий и глубокий анализ процесса измерения и показали, что ни одно измерение не может дать результатов, противоречащих соотношениям неопределенности. И это, как мы видим, обусловлено двумя причинами, очевидно, связанными между собой: существованием кванта действия, с одной стороны, и дискретной природой вещества и излучения, с другой.

Чтобы понять, почему эксперимент не может дать большей точности, чем позволяют соотношения неопределенности, предположим, что мы пытаемся точно определить положение частицы в пространстве. Самый тонкий способ исследовать пространство в пределах очень малых размеров, который имеется в нашем распоряжении, это коротковолновое излучение.

Этот метод, гораздо более точный, чем любой механический метод, позволяет различить в пространстве две Точки, расстояние между которыми порядка длины волны. Чтобы точнее определить координату частицы, нам нужно взять длину волны излучения тем короче, чем с большей точностью необходимо знать координату. Но здесь в виде кванта излучения проявляется существование кванта действия. Чем больше мы уменьшаем длину волны нашего излучения, тем больше увеличиваем его частоту, а следовательно, энергию его фотонов. Увеличивается при этом и импульс, который эти фотоны могут передать исследуемой частице. Измерительный же прибор, приспособленный для точного определения координаты частицы, оставляет нас в полном неведении относительно значения ее импульса в процессе измерения.

Таким образом, конечное состояние движения частицы, полученное после измерения, будет тем более неопределенным, чем более точно измерено ее положение в пространстве. Выражая количественно проведенное рассуждение, мы снова получим соотношение неопределенности. С другой стороны, представим себе эксперимент, имеющий целью точное определение состояния движения: например, измерение скорости электрона можно провести, изучая эффект Доплера при рассеянии света. Мы опять придем к заключению, что чем точнее прибор определяет состояние движения частицы, тем более неопределенным будет ее положение. Соотношения неопределенности оказываются математическим выражением этого обстоятельства. Мы не можем приводить здесь подробно многочисленные примеры, данные Бором, Гейзенбергом и другими, ибо для этого потребовались бы графики и формулы. Эти примеры вполне убедительны, и сегодня большинство физиков, по-видимому, согласно допускать, что невозможно построить измерительный прибор, который позволил бы нарушить ограничения, накладываемые неравенствами Гейзенберга.

Прежде чем перейти к изучению некоторых философских аспектов результатов, полученных в последних двух разделах, нам бы хотелось показать, почему соотношения неопределенности и вообще общие принципы вероятностной интерпретации, приведенные выше, не противоречат твердо установленным выводам старой механики, а, наоборот, позволяют рассматривать их как первые приближения.