4. Аналитическая механика и теория Якоби

4. Аналитическая механика и теория Якоби

Аналитическая механика, тесно связанная с именем великого Лагранжа, представляет собой совокупность методов, позволяющих быстро написать уравнения движения какой-либо системы, если известен набор параметров, знания которых достаточно для однозначного определения положения системы в каждый момент времени. Совершенно не собираясь подробно анализировать здесь методы аналитической механики, сделаем лишь несколько замечаний, касающихся двух хорошо известных систем уравнений: уравнений Лагранжа и уравнений Гамильтона. Отличие метода Лагранжа от метода Гамильтона заключается в том, что в методе Лагранжа энергия системы выражается через обобщенные скорости, т е. через производные по времени от параметров, определяющих положение системы, тогда как в методе Гамильтона энергия выражается как функция обобщенных импульсов.

В рамках классических представлений можно очень просто перейти от обобщенных скоростей к обобщенным импульсам и обратно, поскольку импульсы там всегда определяются через скорости и, таким образом, уравнения Лагранжа и Гамильтона, как показывает их анализ, полностью эквивалентны и отличаются друг от друга лишь формой записи. Когда же мы перейдем к квантовой механике, то увидим, что уравнения Гамильтона, соответствующим образом записанные, сохраняют свое значение, чего нельзя сказать об уравнениях Лагранжа. Это легко объяснить, если заметить, что динамические понятия сохраняют в квантовой механике свое значение, тогда как кинематические понятия, вообще говоря, теряют свой смысл. Так, например, импульс, который, согласно классическим воззрениям, появляется как величина, выводимая из скорости, выступает в квантовой механике уже как вполне автономная величина, не зависящая более от понятия скорости, понятия уже не во всех случаях вполне определенного.

Очень важен и интересен, с точки зрения рассматриваемых здесь вопросов, раздел аналитической механики, посвященный теории Якоби. В самом деле, эта теория позволяет классифицировать различные виды движения материальной точки в заданных полях способом, который как бы подготавливает переход от классической механики к волновой. Мы не в состоянии вдаваться здесь в подробный анализ теории Якоби, требующий к тому же довольно сложного математического аппарата, и ограничимся лишь результатами, которые получаются в частном, но весьма важном случае статических, т е. не зависящих от времени, силовых полей.

Вся совокупность возможных траекторий материальной точки в таком поле сил зависит от шести параметров, поскольку каждая из этих траекторий определяется начальным положением и начальной скоростью материальной точки. Однако все эти траектории можно объединить в семейства, зависящие только от трех параметров, причем траектории одного и того же семейства образуют семейство кривых, ортогональных некоторому семейству поверхностей. Если найти одно из них, то ортогональные этому семейству кривые будут возможными траекториями материальной точки. Теория Якоби позволяет найти семейства таких поверхностей и с помощью решения некоторого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка и второй степени, которое называется уравнением Якоби. Вывод этого уравнения основан на гамильтоновом выражении для энергии материальной точки в каждый момент времени как функции компонент ее импульса и координат в тот же момент времени.

Итак, мы видим, что теория Якоби позволяет разбить шестимерное множество траекторий материальной точки на семейства, каждое из которых содержит в себе трехмерное множество траекторий и соответствует некоторому семейству ортогональных им поверхностей. Каждое семейство траекторий и соответствующее ему семейство ортогональных поверхностей находятся точно в таком же отношении друг к другу, как лучи и волновые поверхности при рассмотрении волн в рамках геометрической оптики. Еще более века назад шотландский геометр Гамильтон отметил эту аналогию между механикой и геометрической оптикой, но только развитие квантовой теории позволило увидеть в ней нечто большее, чем простое сходство математического описания.

В связи с этим интересно отметить, что с точки зрения классической механики материальной точки связь частицы с волной, следующая из теории Якоби, не имеет физического смысла. Действительно, в рамках классических представлений материальная точка, имеющая в каждый момент времени вполне определенные положение и скорость, описывает в поле сил единственную, вполне определенную траекторию, вид которой определяется начальными условиями. Поэтому бесконечная совокупность траекторий, классифицированная, согласно теории Якоби, в семейства, представляет собой лишь возможные траектории, и только одна из них действительно реализуется в каждом конкретном случае. Эти семейства имеют скорее абстрактно математическое значение, поскольку они отображают совокупность возможностей, из которых осуществляется одна и только одна. Тем не менее им все же можно придать конкретный смысл, если представить себе, что имеется бесконечное число одинаковых и не взаимодействующих друг с другом, материальных точек. Тогда можно предположить, что различные материальные точки описывают различные траектории семейств, которые приобретают, таким образом, конкретное содержание. Следовательно, теорию Якоби можно рассматривать в некотором смысле как статистическую теорию, так как она одновременно рассматривает ансамбли из различных траекторий. В этом можно увидеть в зародыше вероятностное и статистическое толкование волновой механики.

Выше мы рассмотрели случай движения одной материальной точки в заданном силовом поле. При обобщении теории Якоби на случай системы взаимодействующих друг с другом материальных точек возникает одна особенность, о которой мы еще будет говорить, когда перейдем к волновой механике систем. Если система состоит из N материальных точек, то необходимо ввести в рассмотрение некоторое абстрактное пространство 3N координат N частиц, образующих систему, так называемое конфигурационное пространство. Действительно, если написать уравнение Якоби для системы, исходя из гамильтонова выражения для ее энергии, то мы получим дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка и второй степени. Это уравнение, содержит 3N независимых переменных, являющихся координатами N материальных точек системы, и определяет некоторые семейства поверхностей в конфигурационном пространстве (а не в обычном трехмерном пространстве). Очевидно, что каждая конфигурация определяется заданием 3N координат точек, входящих в систему, и может быть геометрически представлена в виде точки в конфигурационном пространстве – с этим и связано такое название пространства. Последовательности же различных состояний системы изображается кривой в конфигурационном пространстве – траекторией, изображающей точки системы. Эти условные траектории системы зависят от 6N параметров – 6 начальных условий для каждой из N точек. Теория Якоби так же, как и в случае одной материальной точки, позволяет разделить это 6N-мерное множество траекторий на ряд семейств. Каждое из этих семейств определяется 3N-параметрами и образует семейство кривых, ортогональных семейству поверхностей, которые в свою очередь являются интегральными поверхностями уравнения Якоби. Именно этот случай 3N-мерного конфигурационного пространства находит аналогию в распространении волн. Можно предвидеть, что при трактовке вопросов динамики систем волновая механика, согласно теории Якоби, должна следовать этому пути и рассматривать распространение волн в конфигурационном пространстве. Это приводит к тому, что волны в волновой механике не только имеют вероятностный и статистический смысл, но и носят также отвлеченный и символический характер, сильно отличаясь от тех волн, с которыми имела дело классическая физика.

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

Похожие главы из других книг:

2. Кинетическая теория газов. Статистическая механика

Из книги автора

2. Кинетическая теория газов. Статистическая механика Если все материальные тела состоят из атомов, то естественно допустить, что в телах, находящихся в газообразном состоянии, частицы в среднем находятся достаточно далеко друг от друга и большую часть времени двигаются


2. Квантовая механика

Из книги автора

2. Квантовая механика Очень трудно даже совершенно поверхностно излагать квантовую механику, не пользуясь математическим формализмом, потому что можно сказать, сущность этой новой механики заключается именно в ее формализме. Тем не менее мы попытаемся дать читателю


Относительность и механика

Из книги автора

Относительность и механика Теория относительности с необходимостью возникает из серьезных и глубоких противоречий в старой теории, из которых, казалось, не было выхода. Сила новой теории заключается в согласованности и простоте, с которой она разрешает все эти


I. АНТИЧНАЯ МЕХАНИКА

Из книги автора

I. АНТИЧНАЯ МЕХАНИКА Началом расцвета механики как науки можно считать XVII век — век бурного развития математического естествознания. Именно тогда сформировались основные законы классической механики. Однако зарождение механических знаний относится к глубокой


II. МЕХАНИКА НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ

Из книги автора

II. МЕХАНИКА НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ «Всеобщее обнищание, упадок торговли, ремесла и искусства, сокращение населения, запустение городов, возврат земледелия к более низкому уровню — таков был конечный результат римского мирового владычества»{42}. Эта принадлежащая


АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА

Из книги автора

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА Жозеф Луи Лагранж родился в Турине 25 января 1736 г. в семье обедневшего чиновника. Семнадцатилетним юношей Лагранж увлекся математическими науками, а в 1754 г. он уже профессор артиллерийской школы в Турине. Здесь он объединяет своих


VII. МЕХАНИКА В XIX ВЕКЕ

Из книги автора

VII. МЕХАНИКА В XIX ВЕКЕ РОЛЬ ГАМИЛЬТОНА В РАЗВИТИИ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ МЕХАНИКИ И ТЕОРИИ КВАТЕРНИОНОВ Уильям Роуан Гамильтон (1805—1865) был одним из гениальных людей своего времени. Уже в ранние годы он поражал окружающих исключительными разнообразными способностями. В


ВКЛАД ЯКОБИ В РАЗВИТИЕ ДИНАМИКИ

Из книги автора

ВКЛАД ЯКОБИ В РАЗВИТИЕ ДИНАМИКИ Карл Густав Якоби (1804—1851) — один из крупнейших немецких математиков и механиков первой половины XIX в. Он был профессором математики сначала в Кенигсбергском, а затем в Берлинском университетах. В 1829 г. Якоби был избран


МЕХАНИКА ГЕРЦА

Из книги автора

МЕХАНИКА ГЕРЦА В XVII в. трудами Галилея и Ньютона были заложены принципиальные основы классической механики.В XVIII и XIX вв. Эйлер, Даламбер, Лагранж, Гамильтон, Якоби, Остроградский, исходя из этих основ, построили великолепное здание аналитической механики и разработали ее


МЕХАНИКА ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ И ТЕОРИЯ РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ

Из книги автора

МЕХАНИКА ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ И ТЕОРИЯ РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ На рубеже XIX—XX вв. в России была создана новая область механики, первые стимулы к разработке которой возникли в теоретическом естествознании и которая приобрела исключительно важное значение в технике


НЕЕВКЛИДОВА МЕХАНИКА

Из книги автора

НЕЕВКЛИДОВА МЕХАНИКА Неевклидова механика, т. е. классическая механика в неевклидовом пространстве, и прежде всего в пространстве Лобачевского, возникла в конце 60-х годов XIX в., когда идеи Лобачевского начали получать признание математиков.Основным стимулом развития


АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА СИСТЕМ ТОЧЕК И ТВЕРДЫХ ТЕЛ В ДОВОЕННЫЙ ПЕРИОД

Из книги автора

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА СИСТЕМ ТОЧЕК И ТВЕРДЫХ ТЕЛ В ДОВОЕННЫЙ ПЕРИОД Более интенсивно, чем где бы то ни было за рубежом, в Советском Союзе развивались вариационные методы, велась работа по построению аналитической механики в новых переменных (групповых, неголономных). В


МЕХАНИКА ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ И ТЕОРИЯ РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ В ДОВОЕННЫЙ ПЕРИОД

Из книги автора

МЕХАНИКА ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ И ТЕОРИЯ РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ В ДОВОЕННЫЙ ПЕРИОД В советское время идеи Мещерского и Циолковского получили широкое развитие. В работах Мещерского дальнейшее развитие получила его идея «отображения» движения, высказанная им еще в 1897 г. В 1918


Механика Ньютона

Из книги автора

Механика Ньютона Теория тяготения Ньютона без использования его законов механики не была бы создана. Опуская детали, которые можно найти и в школьном учебнике физики, приведем эти три основных закона в окончательном виде. Без всякого сомнения, они имеют фундаментальное