2. Квантовая механика

2. Квантовая механика

Очень трудно даже совершенно поверхностно излагать квантовую механику, не пользуясь математическим формализмом, потому что можно сказать, сущность этой новой механики заключается именно в ее формализме. Тем не менее мы попытаемся дать читателю хотя бы смутное представление о том, что такое квантовая механика, механика матриц, рождением которой мы обязаны Гейзенбергу, а дальнейшим развитием – Гейзенбергу, Борну в Иордану.

Итак, Гейзенбергу принадлежит идея замены физических величин, с которыми имеют дело в атомной теории, таблицами чисел, матрицами. Исходя из принципа соответствия, он пытался вначале установить правила сложения и умножения различных матриц, каждую из которых нужно рассматривать как единое математическое целое. Он обнаружил, что эти правила сложения и умножения в точности совпадают с правилами для матриц, которыми пользовались математики в теориях алгебраических уравнений и линейных преобразований. Этот результат, a priori, отнюдь не очевидный, очень упростил задачу, ибо свойства алгебраических матриц были уже с давних пор хорошо известны.

Необычным оказалось одно свойство этих матриц – произведение их некоммутативно, оно зависит от порядка сомножителей. Произведение первой матрицы на вторую не равно произведению второй на первую.

Таким образом, Гейзенберг представил физические величины числами, не обладающими свойством коммутативного умножения. Этот факт можно рассматривать как самую основу квантовой механики, и Дирак в своей первой работе отстаивал именно эту точку зрения. Он считал, что переход от классической физики к квантовой заключается просто в представлении физических величин не обычными числами, а квантовыми числами, произведение которых не обладает свойством коммутативности.

Огромное большинство физиков того времени находило, что произвести подобную замену далеко не так просто.

Гейзенберг должен был найти также способ введения в свою теорию кванта действия, И снова он пошел по пути, которым постоянная hбыла введена в классические уравнения старой квантовой теорией, и попытался с помощью принципа соответствия перенести этот способ введения hв свою новую механику.

Результат оказался очень точным, хотя на первый взгляд несколько удивительным. Нужно было предположить, что при перемножении матрицы, соответствующей координате, на матрицу, соответствующую канонически сопряженной компоненте импульса, порядок множителей не безразличен и что разность между произведением этих двух величин, взятых в одном порядке, и их произведением в противоположном порядке равна постоянной Планка, умноженной на некоторое число.

Все другие канонические переменные квантовой механики коммутируют между собой, т е. их произведение не зависит от порядка сомножителей. Только когда рассматриваются произведения двух величин, канонически сопряженных в смысле аналитической механики, в результате их перестановки получается величина, отличающаяся от исходной так, что их разность пропорциональна h. В макроскопических явлениях, где величиной hможно пренебречь, все механические величины можно считать коммутирующими, и мы снова, как и должно быть, возвращаемся к классической механике. Такой путь введения постоянной Планка с помощью коммутационных соотношений, хотя и естественный, с точки зрения Гейзенберга, может показаться несколько странным. Ниже мы увидим, как можно его объяснить в волновой механике.

Уточнив таким образом свойства матриц, представляющих физические величины, Гейзенберг должен был вывести уравнения, описывающие их изменение со временем: иными словами, он должен был построить динамику. Он сделал это, смело предположив, что его матрицы подчиняются уравнениям, по виду совпадающим с уравнениями классической механики.

Согласно этой гипотезе для матриц можно написать канонические уравнения Гамильтона.

Однако эта идентичность динамических уравнений скорее кажущаяся, чем реальная, ибо в классической механике в уравнениях фигурируют обычные числа, а в механике Гейзенберга – матрицы. В этом корень важнейших различий. Тем не менее можно показать, что канонические уравнения квантовой механики позволяют вновь получить принцип сохранения энергии, и они не противоречат боровским соотношениям для частот. Кроме того, для атомных систем эти уравнения по причинам, на которых мы не можем здесь останавливаться, удовлетворяются лишь для некоторых определенных значений энергии. Итак, мы снова приходим к существованию стационарных состояний с квантованной энергией, и у нас есть метод вычисления этих энергий.

Сразу применив свой метод к самым классическим квантовым системам, Гейзенберг и его соратники вычислили квантованную энергию линейного осциллятора, атома водорода и т д. Часто их результаты оказывались в полном согласии со старой квантовой теорией, однако иногда совершенно от них отличались. Гак, например, в случаях линейного осциллятора, они получили вместо закона целых квантов, который предполагал Планк, закон полу целых квантов, о котором мы уже упоминали и который лучше согласуется с экспериментальными фактами.

Воодушевленные очень интересными результатами квантовой механики, строгостью и точностью ее формализма, толпы теоретиков бросились вслед Гейзенбергу, внося в его теорию все новые важные дополнения.

Шредингер опубликовал свою работу и с изумлением заметил, что метод квантования волновой механики ведет к тем же результатам, что и метод квантовой механики, хотя они различаются по духу. Он интуитивно почувствовал, что этот факт не случаен, и блестяще сумел объяснить его.