5. Принцип наименьшего действия

5. Принцип наименьшего действия

Уравнения динамики материальной точки в поле сил, обладающих потенциалом, можно получить, исходя из принципа, который в общем виде носит название принципа Гамильтона, или принципа стационарного действия. Согласно этому принципу, из всех движений материальной точки, которые она может совершить между теми же начальной и конечной точками за тот же самый промежуток времени t2…t1 в действительности осуществляется то движение, для которого интеграл по времени от t1 до t2 от разности кинетической и потенциальной энергий этой материальной точки принимает экстремальное, т е. минимальное или максимальное значение. Пользуясь известными методами вариационного исчисления, легко показать, что из этого принципа вытекают классические уравнения движения.

Особенно простую форму принимает принцип стационарного действия в частном, но важном случае статических силовых полей. В этом случае он совпадает с принципом наименьшего действия Мопертюи, согласно которому для действительного пути материальной точки в консервативном (т е. не зависящем явно от времени) силовом поле интеграл от импульса частицы, взятый по отрезку траектории между какими-либо двумя ее точками A и B, минимален по сравнению с такими же интегралами, взятыми по отрезкам других кривых, проведенных через точки A и B. Принцип Мопертюи может быть выведен из принципа Гамильтона. Его можно связать также с теорией Якоби.

Мы видели, что в случае статических полей траектории в этой теории можно рассматривать как кривые, ортогональные некоторому семейству поверхностей. Простые рассуждения показывают, что эти траектории могут быть получены из условия минимальности интеграла, совпадающего с действием по Мопертюи, т е. криволинейного интеграла от количества движения вдоль траектории. Вывод этот весьма интересен, так как он указывает на связь, существующую между принципом наименьшего действия и принципом минимального времени Ферма.

Действительно, мы уже говорили о том, что траектории в теории Якоби можно рассматривать как аналог световых лучей в геометрической оптике. Анализ же доводов, приводимых в доказательство принципа наименьшего действия, показывает, что они полностью идентичны тем, которые в геометрической оптике приводятся для обоснования принципа минимального времени, или принципа Ферма. Вот его формулировка: в преломляющей среде, свойства которой не зависят от времени, световой луч, проходящий через точки A и B, выбирает себе такой путь, чтобы время, необходимое ему для прохождения от точки A до точки B, было минимальным, т е. следует по кривой, которая обращает в минимум криволинейный интеграл от величины обратной фазовой скорости распространения света. Теперь сходство между принципом Мопертюи и принципом Ферма очевидно.

Однако между ними существует и важное различие. В принципе наименьшего действия подынтегральное выражение совпадает с импульсом частицы и, таким образом, интеграл имеет размерность действия (произведения энергии на время или импульса на путь). В принципе же Ферма подынтегральное выражение, наоборот, обратно пропорционально скорости распространения. Именно по этой причине аналогия между этими двумя принципами в течение длительного времени рассматривалась как чисто формальная, не имеющая под собой никакого глубокого физического обоснования. Более того, казалось даже, что с физической точки зрения между ними имеется существенное различие, поскольку импульс прямо пропорционален скорости и, следовательно, подынтегральное выражение в принципе Мопертюи содержит скорость в числителе, тогда как в принципе Ферма она в знаменателе. Это обстоятельство сыграло важную роль в эпоху, когда волновая теория света, вызванная к жизни гением Френеля, завершала свою победу над теорией истечения. Полагали как раз, что, исходя из различной зависимости от скорости подынтегральных выражений, входящих в интегралы Мопертюи и Ферма, можно сделать вывод, что известные эксперименты Фуко и Физо, согласно которым скорость распространения света в воде меньше скорости света в пустоте, дают неопровержимые и решающие аргументы в пользу волновой теории. Однако, опираясь на это различие и объясняя опыты Фуко и Физо как подтверждение факта существования световых волн, предполагали, что вполне законно отождествлять скорость материальной точки, фигурирующую в принципе Мопертюи, со скоростью распространения волн, входящей в интеграл Ферма, Волновая механика показала, что всякой движущейся материальной точке соответствует волна, скорость распространенная которой меняется обратно пропорционально скорости частицы. Только волновая механика действительно пролила свет на природу глубокого родства между двумя фундаментальными принципами и вскрыла его физический смысл. Она показала также, что эксперимент Физо не столь решающий, как это считалось раньше. Хотя он и доказывает, что распространение света есть распространение волн и что показатель преломления необходимо определять через скорость распространения, но он совсем не исключает возможности корпускулярной структуры света при условии, конечно, соответствующей связи между волнами и частицами света. Однако это уже относится к кругу вопросов, которые мы будем обсуждать ниже.

Сравнивая движение материальной точки в поле сил, не зависящем от времени, с распространением волн в преломляющих средах, состояние которых также не зависит от времени, мы показали, что между принципами Мопертюи и Ферма существует определенная аналогия. Сравнивая движение материальной точки в переменных во времени силовых полях с распространением волн в преломляющих средах с параметрами, меняющимися во времени, замечаем, что аналогия между принципом наименьшего действия в его общем виде, предложенном Гамильтоном, и принципом Ферма, обобщенном на случай преломляющих сред, состояние которых зависит от времени, сохраняется и в этом, более общем случае. Не будем останавливаться на этом вопросе. Для нас достаточно будет лишь, что эта аналогия между двумя основными принципами механики и геометрической оптики имеет место не только в рассмотренном нами выше, хотя и очень важном, но все же частном случае постоянных полей, но и в более общем случае переменных полей.

Принцип стационарного действия справедлив и для систем материальных точек. Для его формулировки нам удобно вести конфигурационное пространство, соответствующее рассматриваемой системе. В качестве примера ограничимся случаем, когда потенциальная энергия системы не зависит явно от времени. Таков, например, случай изолированной системы, на которую не действуют внешние силы, поскольку потенциальная энергия ее при этом сводится только к энергии взаимодействия и не зависит явно от времени. В этом случае, вводя 3N-мерное конфигурационное пространство и вектор в этом пространстве, 3N компонент которого совпадает с компонентами векторов количеств движения N материальных точек системы, принцип наименьшего действия в форме Мопертюи можно сформулировать следующим образом. Траектория изображающей точки системы, проходящая через две заданные точки A и B в конфигурационном пространстве, делает минимальным криволинейный интеграл от введенного выше 3N-мерного вектора, взятый по отрезку траектории между точками A и B, по сравнению с такими же интегралами, взятыми по отрезкам других кривых в конфигурационном пространстве, проходящих через те же точки A и B. Этот принцип легко получить также из теории Якоби. Аналогия же его с принципом Ферма следует из возможности представления траекторий изображающей точки в конфигурационном пространстве в виде лучей волны, распространяющейся в этом пространстве. Итак, мы снова видим, что для систем материальных точек переход от классической механики к волновой можно осуществить лишь в рамках абстрактного конфигурационного пространства.