2. Законы Ньютона и динамика материальной точки
2. Законы Ньютона и динамика материальной точки
Приняв за основу возможность локализации физических объектов в пространстве и во времени, классическая механика начинает изучение законов движения с наиболее простого случая: с изучения законов движения материальной точки, т е. физического объекта бесконечно малых размеров, обладающего конечной массой. Эта схематическая идея элементарной частицы, которую аналитическая механика предпосылает изложению законов динамики, полностью отвечает представлению о дискретности материи. И поэтому совершенно естественно, что полвека назад, когда физики пытались представить себе материю как совокупность находящихся в движении элементарных частиц, в динамике материальной точки они нашли как раз тот инструмент, который был необходим для их теоретических построений.
Динамика материальной точки исходит из принципа инерции, согласно которому материальная точка, на которую не действуют никакие внешние силы, сохраняет со временем свое состояние движения (или покоя). Это положение строго выполняется, во всяком случае тогда, когда речь идет о так называемых галилеевых системах координат, например системе, связанной с неподвижными звездами. Особая роль галилеевых систем координат следует из их определения. Если трехмерное пространство, в котором локализуются все физические объекты, понимать как пространство, имеющее некий абсолютный смысл, то под галилеевыми системами понимаются системы координат, движущиеся прямолинейно и равномерно относительно абсолютного пространства.
Согласно принципу инерции, свободная материальная точка движется прямолинейно и равномерно, либо в частном случае, когда ее скорость равна нулю, остается в состоянии покоя. Таким образом, вполне естественно предположить, что действие некоторой силы на материальную точку сводится просто к изменению ее скорости. Наиболее простой гипотезой будет предположение, что мгновенное изменение скорости материальной точки прямо пропорционально величине, действующей на нее силы, а коэффициент пропорциональности тем меньше, чем больше ее инерция, т е. чем сильнее она противодействует изменению ее скорости.
Естественно характеризовать материальную точку величиной коэффициента инерции – ее массой. При этом основной закон динамики материальной точки можно сформулировать следующим образом: ускорение, сообщаемое некоторой материальной точке, равно в каждый момент времени отношению силы, действующей на эту точку, к величине ее массы. Заметим, что в соответствии с методом, предполагающим, что изложение кинематики предшествует изложению динамики, масса, являющаяся в динамике характеристикой материальной точки, вводится a posteriori, тогда как существование определенных положения, траектории, скорости и ускорения точки допускается a priori.
Уравнения классической динамики материальной точки утверждают таким образом, что произведение массы материальной точки на какую-либо из компонент ее ускорения равно соответствующей компоненте силы, действующей на эту материальную точку. Если предположить, что сила есть известная функция координат и времени, то для определения координат материальной точки в зависимости от времени мы получаем систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка по времени.
Хорошо известная из математического анализа теорема утверждает, что решение этой системы уравнений однозначно определяется заданием координат и их первых производных по времени в какой-либо начальный момент времени. Иначе говоря, если известно положение материальной точки и ее скорость в некоторый момент времени, то можно точно определить характер ее движения во все последующие моменты времени.
Этот результат показывает, что классическая динамика материальной точки находится в полном соответствии с принципом физического детерминизма, принципом, согласно которому будущее состояние материального мира может быть полностью предсказано, если известны параметры, определяющие его состояние в какой-либо предшествующий момент времени.
Интересно отметить еще один факт. Поскольку предполагается, что материальная точка имеет бесконечно малые размеры, то ее траекторией будет линия, которая занимает в трехмерном пространстве лишь одномерный континуум. Материальная точка в каждой точке своей траектории находит определенное значение силы, которое и задает ее движение в последующий бесконечно малый промежуток времени. При этом, казалось бы, характер движения определяется лишь значением поля сил вдоль траектории и совершенно не зависит от его значений вне этой траектории. В действительности, однако, это не совсем так, и характер движения зависит также от поля сил в непосредственной близости от траектории. Последнее обстоятельство связано с тем, что, поскольку во всех физических задачах поле сил, как правило, меняется в пространстве непрерывно, значение силы в какой-либо точке траектории зависит, вообще говоря, от ее значений в области, непосредственно примыкающей к траектории. Особенно ясно это видно в часто встречающемся случае, когда сила в каждой точке пространства равна градиенту некоторой функции координат. Действительно, определение градиента предполагает, что потенциал известен не только в точке приложения силы, но и в некоторой бесконечно малой окрестности этой точки и, следовательно, сила в каждой точке траектории оказывается зависящей от значений потенциала в области, расположенной в непосредственной близости от траектории. Принцип наименьшего действия приводит к тем же выводам, поскольку он определяет действительную траекторию материальной точки, т е. траекторию, которую в действительности описывает материальная точка, двигаясь согласно законам динамики, сравнением ее с другими, бесконечно близкими траекториями. Это также означает, что характер движения материальной точки зависит от значений силы в области, расположенной бесконечно близко от ее траектории.
Однако в рамках классической механики топологические неоднородности пространства, расположенные на конечных расстояниях от траектории материальной точки, разумеется, никоим образом не могут влиять на ее движение. Поместим, например, поперек траектории материальной точки экран с отверстием. Если траектория пересекает экран вблизи центра отверстия, то искажения топологии пространства, вызванные наличием экрана, совершенно не повлияют на ее вид. Напротив, если траектория проходит бесконечно близко от края отверстия, то она будет возмущена, и тогда говорят, что частица задела край экрана. Однако с точки зрения классической механики, совершенно невозможно понять, почему движение материальной точки, проходящей сквозь отверстие в экране, зависит от того, имеются ли в экране дополнительные отверстия, расположенные на конечном расстоянии от первого. Значение этих замечаний для объяснения опытов Юнга с отверстиями в экране с корпускулярной точки зрения скоро станет понятно; можно также почувствовать, что нового должна внести волновая механика в этот вопрос.
Уравнения классической механики материальной точки позволяют ввести две динамические величины, характеризующие движение материальной точки. Первая из них – векторная величина, количество движения, или импульс, который определяется в классической механике как произведение массы материальной точки на ее скорость. Важность этой величины для физики следует из тех же уравнений движения, поскольку их можно сформулировать следующим образом: производная по времени от вектора количества движения равна силе, действующей на материальную точку. Хотя, как легко видеть, в классической механике эта динамическая величина является производной от кинематической величины (скорости) и образуется из нее простым умножением на массу, ясно, что эти две величины имеют совершенно различную природу, ибо импульс характеризует собственно динамические свойства рассматриваемой материальной частицы. Вторая из них – скаляр, энергия. Она играет существенную роль, особенно в тех случаях, когда сила является потенциальной. Из уравнений движения непосредственно следует, что если потенциал для всех точек пространства не зависит от времени, то имеется некоторая величина, сохраняющая постоянное значение при перемещении материальной точки. Эта величина равна сумме половины произведения массы на квадрат скорости и значения потенциала в том месте, где находится материальная точка. Иными словами, эта величина равна сумме кинетической и потенциальной энергий. Таким образом, в потенциальном поле сил (консервативном поле) полная энергия, которую мы только что определили, остается постоянной или, выражаясь математическим языком, является первым интегралом движения. Здесь опять мы видим, что понятие энергии вводится с помощью кинематического понятия скорости и специфически динамических понятий массы и потенциала (последний непосредственно связан с силой). Нет необходимости отмечать, что понятие энергии, кстати, далеко выходящее за рамки классической механики, имеет огромное значение для всей физики.
Так же как остается постоянной энергия, если производная потенциала по времени тождественно равна нулю, так и компонента количества движения сохраняет постоянное значение, если производная потенциала по соответствующей координате тождественно равна нулю. Это указывает на некоторое сходство между энергией и компонентами импульса. Энергия соответствует временной координате, тогда как компоненты импульса – пространственным координатам. Сходство проявляется еще более явно в теории относительности, в которой энергия и три компоненты импульса рассматриваются как компоненты некоторого четырехмерного пространственно-временного вектора – вектора четырехмерного импульса.
В механику материальной точки входят также и несколько других величин, имеющих важное значение. Например, компоненты момента количества движения материальной точки относительно некоторой заданной точки. Они также выводятся из кинематических понятий положения и скорости, к которым добавляется динамическое понятие массы. Эти компоненты, как известно, будут первыми интегралами движения в случае центрального поля сил; важность этого случая в небесной механике общеизвестна.
Итак, в классической теории динамические величины образуются из кинематических величин скорости и координаты и собственно динамических величин массы» и потенциала.