Как Пахом покупал землю
Задача Льва Толстого
Эту главу, необычное название которой станет понятным читателю из дальнейшего, начнем отрывком из общеизвестного рассказа Л.H. Толстого «Много ли человеку земли нужно».
«– А цена какая будет? – говорит Пахом.
– Цена у нас одна: 1000 руб. за день.
Не понял Пахом.
– Какая же это мера – день? Сколько в ней десятин будет?
– Мы этого, – говорит, – не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь в день, то и твое, а цена 1000 руб.
Удивился Пахом.
– Да ведь это, – говорит, – в день обойти земли много будет.
Засмеялся старшина.
– Вся твоя, – говорит. – Только один уговор, если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропали твои деньги.
– А как же, – говорит Пахом, – отметить, где я пройду?
– А мы станем на место, где ты облюбуешь; мы стоять будем, а ты иди, делай круг, а с собой скребку возьми и, где надобно, замечай, на углах ямки рой, дерничка клади; потом с ямки на ямку плугом пройдем. Какой хочешь круг забирай, только до захода солнца приходи к тому месту, с какого взялся. Что обойдешь, все твое.
Разошлись башкирцы. Обещались завтра на зорьке собраться, до солнца на место выехать.
Приехали в степь, заря занимается. Подошел старшина к Пахому, показал рукой.
– Вот, – говорит, – все наше, что глазом окинешь. Выбирай любую.
Снял старшина шапку лисью, поставил на землю.
– Вот, – говорит, – метка будет. Отсюда поди, сюда приходи. Что обойдешь, все твое будет.
Только брызнуло из-за края солнце, вскинул Пахом скребку на плечо и пошел в степь.
Отошел с версту, остановился, вырыл ямку. Пошел дальше. Отошел еще, вырыл еще другую ямку.
Верст 5 прошел. Взглянул на солнышко, – уже время об завтраке. «Одна упряжка прошла, – думает Пахом. – А их четыре во дню, рано еще заворачивать. Дай пройду еще верст пяток, тогда влево загибать начну». Пошел еще напрямик.
«Ну, – думает, – в эту сторону довольно забрал; надо загибать». Остановился, вырыл ямку побольше и загнул круто влево.
Прошел еще и по этой стороне много; загнул второй угол. Оглянулся Пахом на шихан (бугорок): от тепла затуманился, а сквозь мару чуть виднеются люди на шихане. «Ну, – думает, – длинны стороны взял, надо эту покороче взять». Пошел третью сторону. Посмотрел на солнце, – уж оно к полднику подходит, а по третьей стороне всего версты две прошел. И до места все те же верст 15. «Нет, – думает, – хоть кривая дача будет, а надо прямиком поспевать».
Вырыл Пахом поскорее ямку и повернул прямиком к шихану.
Идет Пахом прямо на шихан, и тяжело уж ему стало. Отдохнуть хочется, а нельзя, – не поспеешь дойти до заката. А солнце уж недалеко от края.
Идет так Пахом; трудно ему, а все прибавляет да прибавляет шагу. Шел, шел – все еще далеко; побежал рысью… Бежит Пахом, рубаха и портки от пота к телу липнут, во рту пересохло. В груди как меха кузнечные раздуваются, а сердце молотком бьет.
Бежит Пахом из последних сил, а солнце уж к краю подходит. Вот-вот закатываться станет.
Солнце близко, да и место уж вовсе недалеко. Видит шапку лисью на земле и старшину, как он на земле сидит.
Взглянул Пахом на солнце, а оно до земли дошло, уже краешком заходить стало. Наддал из последних сил Пахом, надулся, взбежал на шихан. Видит – шапка. Подкосились ноги, и упал он наперед руками, до шапки достал.
– Ай, молодец! – закричал старшина, – много земли завладел.
Подбежал работник, хотел поднять его, а у него изо рта кровь течет, и он мертвый лежит…»
Отвлечемся от мрачной развязки этой истории и остановимся на ее геометрической стороне. Можно ли установить по данным, рассеянным в этом рассказе, сколько примерно десятин земли обошел Пахом? Задача – на первый взгляд как будто невыполнимая – решается, однако, довольно просто.
РЕШЕНИЕ
Внимательно перечитывая рассказ и извлекая из него все геометрические указания, нетрудно убедиться, что полученных данных вполне достаточно для исчерпывающего ответа на поставленный вопрос. Можно даже начертить план обойденного Пахомом земельного участка.
Прежде всего из рассказа ясно, что Пахом бежал по сторонам четырехугольника. О первой стороне его читаем:
«Верст пять прошел… Пройду еще верст пяток; тогда влево загибать…».
Значит, первая сторона четырехугольника имела в длину около 10 верст.
О второй стороне, составляющей прямой угол с первой, численных указаний в рассказе не сообщается.
Длина третьей стороны – очевидно, перпендикулярной ко второй, – указана в рассказе прямо: «По третьей стороне всего версты две прошел».
Непосредственно дана и длина четвертой стороны: «До места все те же верст 15»[57].
По этим данным мы и можем начертить план обойденного Пахомом участка (рис. 22). В полученном четырехугольнике ABCD сторона АВ = 10 верстам, CD = 2 верстам, AD = 15 верстам; углы В и С – прямые. Длину х неизвестной стороны ВС нетрудно вычислить, если провести из D перпендикуляр DE к АВ (рис. 23). Тогда в прямоугольном треугольнике AED нам известны катет АЕ = 8 верстам и гипотенуза AD =15 верстам.
Неизвестный катет
верстам.
Итак, вторая сторона имела в длину около 13 верст. Очевидно, Пахом ошибся, считая вторую сторону короче первой.
Как видите, можно довольно точно начертить план того участка, который обежал Пахом. Несомненно, Л.H. Толстой имел перед глазами чертеж наподобие рис. 22, когда писал свой рассказ.
Рис. 22. Маршрут Пахома
Рис. 23. Уточнение маршрута
Теперь легко вычислить и площадь трапеции ABCD, состоящей из прямоугольника EBCD и прямоугольного треугольника АED . Она равна
Вычисление по формуле трапеции дало бы, конечно, тот же результат:
Мы узнали, что Пахом обежал обширный участок площадью в 78 кв. верст, или около 8000 десятин. Десятина обошлась бы ему в 12 1/2 копеек.