Тремя одинаковыми цифрами

Попытаемся углубиться в это озадачивающее явление и установить, почему одни цифры порождают числовые исполины при трехъярусном расположении, другие – нет. Рассмотрим общий случай.

Тремя одинаковыми цифрами, не употребляя знаков действий, изобразить возможно большее число. Обозначим цифру буквой а. Расположению

222, 333, 444

соответствует написание

а 10 а + а , т. е. а 11 а .

Расположение же трехъярусное представится в общем виде так:

Определим, при каком значении а последнее расположение изображает большее число, нежели первое. Так как оба выражения представляют степени с равными целыми основаниями, то бо́льшая величина отвечает большему показателю. Когда же

аа> 11а?

Разделим обе части неравенства на а. Получим:

аа-1> 11.

Легко видеть, что аа-1 больше 11 только при условии, что а больше 3, потому что

44–1 > 11,

между тем как степени

З2 и 21

меньше 11.

Теперь понятны те неожиданности, с которыми мы сталкивались при решении предыдущих задач: для двоек и троек надо было брать одно расположение, для четверок и больших чисел – другое.