Алгебраические комедии

ЗАДАЧА 1

Шестое математическое действие дает возможность разыгрывать настоящие алгебраические комедии и фарсы на такие сюжеты, как 2–2 = 5,2 = 3 и т. п. Юмор подобных математических представлений кроется в том, что ошибка – довольно элементарная – несколько замаскирована и не сразу бросается в глаза. Исполним две пьесы этого комического репертуара из области алгебры.

Первая:

2 = 3.

На сцене сперва появляется неоспоримое равенство 4-10 = 9-15.

В следующем «явлении» к обеим частям равенства прибавляется по равной величине

Дальнейший ход комедии состоит в преобразованиях:

Извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, получают:

Прибавляя по

 к обеим частям, приходят к нелепому равенству

2 = 3.

В чем же кроется ошибка?

РЕШЕНИЕ

Ошибка проскользнула в следующем заключении: из того, что

был сделан вывод, что

Но из того, что квадраты равны, вовсе не следует, что равны первые степени. Ведь (—5)2 = 52, но —5 не равно 5. Квадраты могут быть равны и тогда, когда первые степени разнятся знаками. В нашем примере мы имеем именно такой случай:

но

 не равно

.

ЗАДАЧА 2

Другой алгебраический фарс (рис. 2)

2-2 = 5

разыгрывается по образцу предыдущего и основан на том же трюке. На сцене появляется не внушающее сомнения равенство

16 – 36 = 25–45.

Рис. 2

Прибавляются равные числа:

и делаются следующие преобразования:

Затем с помощью того же незаконного заключения переходят к финалу:

4 = 5,

2 · 2 = 5.

Эти комические случаи должны предостеречь малоопытного математика от неосмотрительных операций с уравнениями, содержащими неизвестное под знаком корня.