Значения энергии квантуются

Теперь мы определим возможные значения энергии, которой может обладать абсолютно малая частица в ящике. Классический мяч на ракетбольной площадке может иметь любую энергию, то есть набор её возможных значений непрерывен. Определить, какой энергией может обладать такая частица, как электрон в крошечном ящике, можно, опираясь на правило для возможных значений длины волны ?=2L/n амплитуды вероятности в этом ящике (см. рис. 8.4). Слово «крошечный» означает здесь, что ящик мал в абсолютном смысле, то есть длина волны сопоставима с его размерами. Нам также понадобятся несколько других физических соотношений, которые уже встречались нам ранее, а именно: соотношение для длины волны де Бройля p=h/?, где p — импульс, а h — постоянная Планка; формула для импульса p=m?V, где m — масса частицы, а V — её скорость; выражение для кинетической энергии частицы

E=?m?V².

Давайте объединим эти формулы.

Первым делом возведём в квадрат величину p:

p²=m²?V².

Если теперь разделить обе части уравнения на 2?m, то в правой части получим кинетическую энергию

?m?V²,

а в левой части —

p²/2?m.

Отсюда следует выражение для кинетической энергии:

E=p²/2?m.

Используя соотношение де Бройля, можно получить выражение: p²=h²/?². Подставляя его в выражение для энергии, получаем:

E=h²/2?m??².

Наконец, применим наше правило ?=2L/n для возможных значений длины волны. Из него следует: ?²=4L²/n². Подставив это выражение в формулу для энергии, находим:

E=n²h²/8?m??²,

где n принимает любые целые значения: 1, 2, 3 и т. д. Целочисленная величина n называется квантовым числом.

Мы получили очень важный результат: значения энергии абсолютно малой частицы в абсолютно малом ящике. Этот результат очень тесно связан с поведением электронов в атомах и молекулах. Как видно из формулы, набор возможных значений энергии не непрерывен, поскольку n может принимать только целочисленные значения; другие величины, входящие в формулу, для конкретной системы являются константами. Мы будем говорить, что энергия квантуется, то есть она может принимать лишь некоторые значения, определяемые физическими свойствами системы и квантовым числом.