§ 2. Равномерное движение

Если мы предполагаем, что теория относительности верна, то частица, покоящаяся в одной инерциальной системе, в другой инерциальной системе может оказаться в равномерном движении. В системе покоя частицы амплитуда вероятности для всех х, у и z одинакова, но зависит от t. Величина амплитуды для всех t одинакова, а фаза зависит от t. Мы можем получить картину поведения амплитуды, если проведем линии равной фазы (скажем, нулевой) как функций х и t. Для частицы в покое эти линии равной фазы параллельны оси х и расположены по оси t на равных расстояниях (показано пунктирными линиями на фиг. 5.1).

Фиг. 5.1. Релятивистское преобразование амплитуды покоящейся частицы в систему х—t.

В другой системе, х', у', z', t', движущейся относительно частицы, скажем, в направлении х, координаты х' и t' некоторой частной точки пространства связаны с х и t преобразованием Лоренца. Это преобразование можно изобразить графически, проведя оси х' и t', как показано на фиг. 5.1 [см. гл. 17 (вып. 2), фиг. 17.2]. Вы видите, что в системе х'—t' точки равной фазы[17] вдоль оси t' расположены на других расстояниях, так что частота временных изменений уже другая. Кроме того, фаза меняется и по х', т. е. амплитуда вероятности должна быть функцией х'.

При преобразовании Лоренца для скорости v, направленной, скажем, вдоль отрицательного направления х, время t связано со временем t' формулой

и теперь наша амплитуда меняется так:

В штрихованной системе она меняется в пространстве и во времени. Если амплитуду записать в виде

то видно, что Е'_р=Е₀/?(1-v²/с²). Это энергия, вычисленная по классическим правилам для частицы с энергией покоя Е₀, движущейся со скоростью v; p'=E'_pv/c²— соответствующий импульс частицы.

Вы знаете, что х_?=(t, х, y, z) и р_?=(Е, p_х, p_y, p_z) — четырехвекторы, а p_?x_?=Et-р·х —скалярный инвариант. В системе покоя частицы p_?x_? просто равно Et; значит, при преобразовании в другую систему Et следует заменить на

Итак, амплитуда вероятности для частицы, импульс которой есть р, будет пропорциональна

где Е_р — энергия частицы с импульсом р, т. е.

а Е₀, как и прежде, —энергия покоя. В нерелятивистских задачах можно писать

где W_p — избыток (или нехватка) энергии по сравнению с энергией покоя М_sс² частей атома. В общем случае в W_p должны были бы войти и кинетическая энергия атома, и его энергия связи или возбуждения, которые можно назвать «внутренней» энергией. Тогда мы бы писали

а амплитуды имели бы вид

Мы собираемся все расчеты вести нерелятивистски, так что именно таким видом амплитуд вероятностей мы и будем пользоваться.

Заметьте, что наше релятивистское преобразование снабдило нас формулой для изменения амплитуды атома, движущегося в пространстве, не требуя каких-либо добавочных допущений. Волновое число ее изменений в пространстве, как это следует из (5.9), равно

а, значит, длина волны

Это та самая длина волны, которую мы раньше использовали для частиц с импульсом р. Именно таким путем де-Бройль впервые пришел к этой формуле. Для движущейся частицы частота изменения амплитуды по-прежнему дается формулой

Абсолютная величина (5.9) равна просто единице, так что для частицы, движущейся с определенной энергией, вероятность обнаружить ее где бы то ни было — одна и та же повсюду и со временем не меняется. (Важно отметить, что амплитуда это комплексная волна. Если бы мы пользовались вещественной синусоидой, то ее квадрат от точки к точке менялся бы, что было бы неверно.)

Конечно, мы знаем, что бывают случаи, когда частицы движутся от одного места к другому, так что вероятность зависит от положения и изменяется со временем. Как же нужно описывать такие случаи? Это можно сделать, рассматривая амплитуды, являющиеся суперпозицией двух или большего числа амплитуд для состояний с определенной энергией. Такое положение мы уже обсуждали в гл. 48 (вып. 4), причем именно для амплитуд вероятности! Мы нашли тогда, что сумма двух амплитуд с разными волновыми числами k (т. е. импульсами) и частотами ? (т. е. энергиями) приводит к интерференционным буграм, или биениям, так что квадрат амплитуды меняется и в пространстве, и во времени. Мы нашли также, что эти биения движутся с так называемой «групповой скоростью», определяемой формулой

где ?k и ?? — разности волновых чисел и частот двух волн. В более сложных волнах, составленных из суммы многих амплитуд с близкими частотами, групповая скорость равна

Так как ?=Е_р/?, а k=p/?, то

Но из (5.6) следует, что

а так как E_p=Mc², то

а это как раз классическая скорость частицы. Даже применяя нерелятивистские выражения, мы будем иметь

и

т. е. опять классическую скорость.

Результат наш, следовательно, состоит в том, что если имеется несколько амплитуд для чистых энергетических состояний с почти одинаковой энергией, то их интерференция приводит к «всплескам» вероятности, которые движутся сквозь пространство со скоростью, равной скорости классической частицы с такой же энергией. Но нужно, однако, заметить, что, когда мы говорим, что можем складывать две амплитуды с разными волновыми числами, чтобы получать пакеты, отвечающие движущейся частице, мы при этом вносим нечто новое — нечто, не выводимое из теории относительности. Мы сказали, как меняется амплитуда у неподвижной частицы, и затем вывели из этого, как она должна была бы меняться, если бы частица двигалась. Но из этих рассуждений мы не в состоянии вывести, что случилось бы, если бы были две волны, движущиеся с разными скоростями. Если мы остановим одну из них, мы не сможем остановить другую. Так что мы втихомолку добавили еще одну гипотезу: кроме того, что (5.9) есть возможное решение, мы допускаем, что у той же системы могут быть еще решения со всевозможными p и что различные члены будут интерферировать.