§ 3. Состояния с определенным импульсом

Пусть у нас имеется электрон в состоянии |?>, описываемом амплитудой вероятности <х|?>=?(х). Мы знаем, что ?(х) обозначает состояние, в котором электрон размазан по прямой по какому-то закону, так что вероятность обнаружить его в узком интервале dx близ точки х попросту равна

Что можно сказать об импульсе этого электрона? Можно спросить, какова вероятность того, что импульс этого электрона равен р? Начнем с расчета амплитуды того, что состояние |?> присутствует в другом состоянии |имп. p>, которое мы определим как состояние с определенным импульсом р. Эту амплитуду можно найти, применяя наше основное уравнение для разложения амплитуд (14.20). В терминах состояний |имп. p>

А вероятность того, что у электрона будет обнаружен импульс р, выразится квадратом абсолютной величины этой амплитуды. Но опять возникает тот же вопрос насчет нормирования. Ведь вообще можно говорить только о вероятности обнаружить электрон с импульсом в узкой области dp близ значения р. Вероятность того, что импульс в точности равен р, равна нулю (разве что состояние |?> окажется состоянием с определенным импульсом). Только вероятность обнаружить импульс в интервале dp возле значения р может оказаться конечной. Нормировку можно делать по-разному. Мы выберем тот способ нормировки, который нам кажется особенно удобным, хотя вам сейчас это может так и не показаться.

Примем такую нормировку, чтобы вероятность была связана с амплитудой равенством

Это определение дает нам нормировку амплитуды <имп. р|x>. Амплитуда <имп. р|х>, естественно, комплексно сопряжена с амплитудой <х|имп. р>, а последнюю мы писали в (14.15). При нашей нормировке оказывается, что коэффициент пропорциональности перед экспонентой как раз равен единице, т. е.

Тогда (14.21) превращается в

Вместе с (14.22) это уравнение позволяет находить распределение импульсов для любого состояния |?>.

Возьмем частный пример: скажем, когда электрон расположен в некоторой области вокруг х=0. Пусть мы взяли волновую функцию вида

Распределение вероятности иметь то или иное значение х для такой волновой функции дается ее квадратом

Функция плотности вероятности Р(х) — это кривая Гаусса, показанная на фиг. 14.1.

фиг. 14.1. Плотность вероятности для волновой функции (14.24).

Большая часть вероятности сосредоточена между х=+? и х=-?. Мы говорим, что «полуширина» кривой есть ?. (Точнее, ? равняется средней квадратичной координате х, если разброс координат соответствует этому распределению.) Коэффициент К следовало бы выбрать так, чтобы плотность вероятности Р(х) не просто была пропорциональна вероятности (на единицу длины x) обнаружить электрон, но имела бы такой масштаб, чтобы Р(х)?x равнялось вероятности обнаружить электрон в ?x вблизи х. Коэффициент К, при котором так и получается, можно найти из требования _-??^+?Р(х)dx=1, потому что вероятность обнаружить электрон где попало равна единице. Мы находим, что К=(2??²)^-1/4.[56]

Теперь найдем распределение по импульсу. Пусть ?(p) есть амплитуда того, что импульс электрона окажется равным р:

Подстановка (14.25) в (14.24) дает

что можно также переписать в форме

Сделаем теперь замену u=x+2ip?²/?; интеграл обратится в

Математикам, вероятно, не понравился бы такой путь расчета, однако итог, несмотря на это, верен:

Мы пришли к интересному результату — распределение амплитуд по р имеет в точности ту же математическую форму, как и распределение амплитуд по х, только ширина кривой Гаусса иная. Можно записать это так:

где полуширина ? распределения по р связана с полушириной ? распределения по х формулой

Наш результат утверждает: если сделать распределение по х очень узким, взяв ? малым, то ? станет большим и распределение по р сильно расползется. Или наоборот, если распределение по р узко, то оно соответствует широкому распределению по х. Мы можем, если угодно, рассматривать ? и ? как некую меру неопределенности локализации импульса и координаты электрона в изучаемом нами состоянии. Если обозначить их соответственно ?р и ?x, то (14.33) обратится в

Интересно вот что: можно доказать, что при всяком ином виде распределения по х или по р произведение ?p?x не может стать меньше, чем у нас получилось. Гауссово распределение дает наименьшее возможное значение произведения средних квадратичных. В общем случае

Это количественная формулировка принципа неопределенности Гейзенберга, который качественно нам уже давно известен. Мы обычно делали приближенное утверждение: наименьшее значение произведения ?p?x — это число порядка ?.