§ 4. Как состояния меняются во времени
Мы уже говорили о том, как отображать ход событий, где мы что-то пропускаем через прибор. Но самый привлекательный, самый удобный для рассмотрения «опыт» состоит в том, что вы останавливаетесь и ждете несколько минут, т. е. вы приготовляете состояние ? и, прежде чем проанализировать его, оставляете его в покое. Быть может, вы оставите его в покое в каком-то электрическом или магнитном поле — все зависит от физических обстоятельств. Во всяком случае, какими бы ни были условия, вы от момента t1 до момента t2 оставляете объект на свободе. Допустим, что он выпущен из нашего первого прибора в состоянии ? в момент t1. А затем он проходит через «прибор», в котором он находится до момента t2. Во время такой «задержки» могут продолжаться различные события, прилагаться внешние силы, — словом, что-то в это время случается. После такой задержки амплитуда того, что этот объект обнаружится в состоянии ?, уже не та же самая, какой она была бы, если бы задержки не было. Так как «ожидание» — это просто частный случай «прибора», то можно описать то, что происходит, задав амплитуду в том же виде, как в уравнении (6.17). Поскольку операция «ожидания» представляет особую важность, мы вместо А обозначим ее U, а чтобы отмечать начальный и конечный моменты t1 и t2, будем писать U(t2, t1). Интересующая нас амплитуда — это
Как и всякая подобная амплитуда, она может быть представлена в той или иной базисной системе в виде
Тогда U описывается заданием полной совокупности амплитуд — матрицы
Кстати, следует отметить, что матрица <i|U(t2, t1|j> могла бы дать гораздо больше всяких деталей, чем нам обычно нужно. Теоретик высокого класса, работающий в физике высоких энергий, рассматривает примерно такие проблемы (потому что именно так обычно ставятся эксперименты): он начинает с двух частиц, скажем с протона и протона, налетающих друг на друга из бесконечности. (В лаборатории обычно одна частица покоится, другая же вылетает из ускорителя, который по атомным масштабам пребывает в бесконечности.) Они сталкиваются, и в итоге появляются, скажем, два К-мезона, шесть ?-мезонов и два нейтрона с определенными импульсами в определенных направлениях. Какова амплитуда того, что это случится? Математика здесь выглядит так. Состояние ? отмечает спины и импульсы сближающихся частиц. А ? — это сведения о том, что получается в конце. К примеру, с какой амплитудой вы получите шесть мезонов, идущих в таких-то и таких-то направлениях, а два нейтрона, вылетающих вот в этих направлениях и со спинами, торчащими так-то и так-то. Иными словами, ? отмечается заданием всех импульсов, спинов и т. п. конечных продуктов. И вот работа теоретика состоит в том, чтобы подсчитать амплитуду (6.27). Однако на самом деле его интересует только частный случай, когда t1=-?, а t2=+?. (У нас не бывает экспериментальных данных о детальном ходе процесса, известно только, что вошло и что вышло.) Предельный случай U(t2, t1) при t1?-? и t2?+? обозначается буквой S; теоретик нуждается в величине
Или, если пользоваться формой (6.28), ему нужно вычислить матрицу
называемую S-матрицей. Стало быть, если вы увидите физика-теоретика, который меряет шагами комнату и говорит: «Мне нужно только вычислить S-матрицу», — то вы теперь уже будете понимать, над чем он ломает голову.
Как анализировать S-матрицу, т. е. как указать законы для нее, — вопрос интересный. В релятивистской квантовой механике при высоких энергиях это делается одним способом, в нерелятивистской же квантовой механике — другим, более удобным. (Он годится и в релятивистском случае, но перестает быть таким удобным.) Состоит он в том, чтобы вывести U-матрицу для небольших интервалов времени, т. е. для близких t2 и t1. Если мы сможем найти последовательность таких U для последовательных интервалов времени, то сможем проследить за тем, как все меняется в зависимости от времени. Сразу же ясно, что для теории относительности этот способ не очень хорош, потому что не так уж просто указать, как «одновременно» все всюду выглядит. Но не стоит нам думать об этом; нашей заботой будет только нерелятивистская механика.
Рассмотрим матрицу U для задержки от t1 до t3, где t3 больше t2. Иными словами, возьмем три последовательных момента: t1 меньше t2, t2 меньше t3. Тогда мы утверждаем, что матрица, которая тянется от t1 до t3, получается перемножением подряд всего того, что происходит при задержке от t1 до t2, и затем от t2 до t3. Это в точности то же самое, что было с двумя последовательными приборами В и А. Тогда, следуя обозначениям, принятым в гл. 3, § 6, мы можем написать
Иначе говоря, можно проанализировать любой интервал времени, если мы умеем анализировать последовательность промежуточных коротких интервалов. Мы просто перемножаем все куски; это и есть способ нерелятивистского анализа квантовой механики.
Итак, задача состоит в том, чтобы узнать матрицу U(t2, t1) для бесконечно малого интервала времени — для t2=t1+?t. Спросим себя: если сейчас у нас есть состояние ?, то как оно будет выглядеть через бесконечно малое время ?t? Посмотрим, как это можно расписать. Обозначим состояние в момент t через |?(t)> (мы указываем зависимость ? от времени, чтобы было совершенно ясно, что речь идет об условиях в момент t). Теперь зададим вопрос: каково будет положение вещей через короткое время ?t? Ответ таков:
Здесь имеется в виду то же, что и в (6.25), а именно, что амплитуда обнаружить ? в момент t+?t есть
Поскольку мы еще не очень хорошо разбираемся в этих абстрактных вещах, то давайте спроецируем наши амплитуды в определенное представление. Умножая обе части (6.31) на <i|, получаем
Можно также разложить и |?(t)> на базисные состояния и написать
Понять это можно так. Если через Ci(t)=<i|?|(t)> обозначить амплитуду пребывания в базисном состоянии i в момент t, то можно считать эту амплитуду (помните, это просто число!) меняющейся во времени. Каждое Сi становится функцией времени t. Кроме того, у нас есть информация о том, как амплитуды Сi меняются во времени. Каждая амплитуда в момент (t+?t) пропорциональна всем прочим амплитудам в момент t, умноженным на ряд коэффициентов. Обозначим U-матрицу через Uij, считая, что
Тогда (6.34) можно записать так:
Вот как будет выглядеть динамика квантовой механики.
Нам пока мало известно об Uij. Мы знаем только, что при ?t, стремящемся к нулю, ничего не должно произойти, просто должно получиться начальное состояние. Значит, Uij?1 и Uij?0 при i?j. Иными словами, Uij??ij при ?t?0. Кроме того, мы вполне вправе предположить, что при малых At каждый из Uij обязан отличаться от ?ij на величину, пропорциональную ?t; так что можно писать
Однако обычно по историческим и по иным причинам из коэффициентов Кij выносят множитель[20] (-i/?); предпочитают писать
Это, разумеется, то же самое, что и (6.36). Если угодно, это просто определение коэффициентов Hij(t). Члены Hij — это как раз производные по t2 от коэффициентов Uij(t2, t1), вычисляемые при t2=t1=t,
Подставляя в (6.35) этот вид U, получаем
Суммируя члены с ?ij, получаем просто Ci(t), что можно перенести в другую сторону уравнения. После деления на ?t мы распознаем в этом производную
или
Вы помните, что Сi(t) — это амплитуда <i|?> обнаружить состояние ? в одном из базисных состояний i (в момент t). Значит, уравнение (6.39) сообщает нам, как каждый из коэффициентов <i|?> меняется со временем. Но это все равно, что сказать, что (6.39) сообщает нам, как со временем меняется состояние ?, раз мы описываем ? через амплитуды < i|?>. Изменение ? со временем описывается через матрицу Нij, которая, конечно, должна включать все то, что мы делали с системой, чтобы вызвать ее изменения. Если мы знаем матрицу Hij, которая содержит в себе всю физику явления и может, вообще говоря, зависеть от времени, то у нас есть полное описание поведения системы во времени. Таким образом, (6.39)— это квантовомеханический закон для динамики мира.
(Нужно сказать, что мы всегда будем выбирать совокупность базисных состояний, которые фиксированы и со временем не меняются. Иногда используют такие базисные состояния, которые сами меняются. Однако это все равно, что пользоваться в механике вращающейся системой координат, а мы не хотим входить в подобные тонкости.)