§ 7. Преобразование к другому базису
Мы хотим сделать одно заключительное замечание относительно базисных состояний, используемых в расчетах. Предположим, мы захотели работать с каким-то определенным базисом, скажем с базисом S, а кто-то другой решает провести те же расчеты с другим базисом, скажем с базисом Т.
Для конкретности назовем наши базисные состояния состояниями (iS), где i=+, 0, -, а его базисные состояния назовем (jT). Как сравнить его работу с нашей? Окончательные ответы для результатов любых измерений обязаны оказаться одинаковыми, но употребляемые в самих расчетах всевозможные матрицы и амплитуды будут другими.
Как же они соотносятся? К примеру, если оба мы начинаем с одного и того же ?, то мы опишем это ? на языке трех амплитуд <iS|?> — амплитуд того, что ? переходит в наши базисные состояния в представлении S, а он опишет это ? амплитудами <jТ|?> — амплитудами того, что состояние ? переходит в базисные состояния в его, Т, представлении. Как проверить, что мы оба на самом деле говорим об одном и том же состоянии ?? Это можно сделать с помощью нашего общего правила II [см. (3.27)]. Заменяя ? любым из его состояний jT, напишем
Чтобы связать оба представления, нужно задать только девять комплексных чисел — матрицу <jT|iS>. Эту матрицу затем можно использовать для того, чтобы перевести все его уравнения в нашу форму. Она сообщает нам, как преобразовать одну совокупность базисных состояний в другую. (По этой причине <jT|iS> иногда именуют «матрицей преобразования от представления S к представлению T». Слова ученые!)
Для случая частиц со спином 1, у которых бывает только тройка базисных состояний (у высших спинов их больше), математическая ситуация напоминает то, что мы видели в векторной алгебре. Каждый вектор может быть представлен тремя числами — компонентами вдоль осей х, у и z. Иначе говоря, всякий вектор может быть разложен на три «базисных» вектора, т. е. векторы вдоль этих трех осей. Но предположим, что кто-то другой решает выбрать другую тройку осей: x', y' и z'. Чтобы представить любой частный вектор, он воспользуется другими (а не теми, что мы) числами. Его выкладки не будут похожи на наши, но окончательный итог окажется таким же. Мы это уже рассматривали раньше и знаем правила преобразования векторов от одной тройки осей к другой.
Вам может захотеться увидать, как действуют квантовомеханические преобразования, и самим попробовать их проделать; для этого мы приведем здесь без вывода матрицы преобразований амплитуд спина 1 от представления S к другому представлению Т для разных взаимных ориентации фильтров S и Т. (В следующих главах мы покажем, как получаются эти результаты.)
Первый случай. У прибора Т ось у (вдоль которой движутся частицы) та же самая, что и у S, но Т повернут вокруг общей оси у на угол ? (на фиг. 3.6). (Чтобы быть точными, укажем, что в приборе Т установлена система координат х', у', z', связанная с координатами х, у, z прибора S формулами z'=zcos?+хsin?; х'=хcos?-zsin?; у'=у.) Тогда амплитуды преобразований таковы:
Второй случай. Прибор Т имеет ту же ось z, что и S, но повернут относительно оси z на угол ?. (Преобразование координат: z'=z; х'=xcos?+ysin?; у'=уcos?-хsin?.) Тогда амплитуды преобразований суть
Заметьте, что любые вращения Т можно составить из описанных двух вращений.
Если состояние ? определяется тремя числами
и если то же состояние описывается с точки зрения Т тремя числами
тогда коэффициенты <jT|iS> из (3.38) и (3.39) дают преобразования, связывающие Сi и С'i. Иными словами. Сi очень походят на компоненты вектора, который с точек зрения S и Т выглядит по-разному.
Только у частицы со спином 1 (потому что ей требуются как раз три амплитуды) есть такое тесное соответствие с векторами. Здесь во всех случаях имеется тройка чисел, которая обязана преобразовываться при изменениях координат определенным известным образом. И действительно, здесь есть и такая совокупность базисных состояний, которая преобразуется в точности, как три компоненты вектора. Три комбинации
преобразуются в С'х, С'у, С'z как раз так же, как х, у, z преобразуются в х', у', z'. [Вы можете проверить это с помощью законов преобразований (3.38) и (3.39).] Теперь вы понимаете, почему частицу со спином 1 часто называют «векторной частицей».