§ 3. Законы сохранения

Обратимся теперь к другому интересному примеру операции симметрии — к повороту. Рассмотрим частный случай оператора, который поворачивает атомную систему на угол ? вокруг оси z. Обозначим этот оператор ^R_z(?)[61]. Предположим еще, что никаких влияний, выстроенных вдоль осей х и у, в нашем физическом случае нет. Все электрические или магнитные поля взяты параллельными оси z[62], так что никаких изменений во внешних условиях от поворота всей физической системы вокруг оси z не наступит. Например, если имеется атом в пустом пространстве и мы повернем этот атом вокруг оси z на угол ?, то получим ту же физическую систему.

Тогда существуют особые состояния, обладающие тем свойством, что такая операция создает новое состояние, равное первоначальному, умноженному на некоторый фазовый множитель. Заметим, что когда это так, то изменение фазы обязано быть всегда пропорционально углу ?. Представьте, что вы дважды захотели бы сделать поворот на угол ?. Это равносильно тому, что повернуть на угол 2?. Если поворот на угол ? имеет своим следствием умножение состояния |?₀> на фазовый множитель e^i?, так что

то два таких поворота, один вслед за другим, привели бы к умножению состояния на множитель (е^i?)²=е^i2?, так как

Изменение фазы ? оказывается пропорциональным ?[63]. Мы, стало быть, рассматриваем лишь те особые состояния |?₀>, для которых

где m — некоторое вещественное число.

Нам известен также тот примечательный факт, что если система симметрична относительно поворота вокруг z и если исходное состояние обладает тем свойством, что (15.22) окажется выполненным, то и позже у этого состояния сохранится то же свойство. Значит, это число m имеет большую важность. Если его значение мы знаем в начале, то мы знаем его и в конце. Это число m, которое сохраняется, есть константа движения. Причина, почему мы говорим об m, выталкиваем его на первый план, состоит в том, что оно не связано с каким-либо определенным углом ?, и еще потому, что у него есть соответствие в классической механике. В квантовой механике мы выбираем для m? (в состояниях, подобных |?₀>) название момент количества движения вокруг оси z. И тогда мы обнаруживаем, что в пределе больших систем та же величина равняется z-компоненте момента количества движения из классической механики. Значит, если мы имеем состояние, для которого поворот вокруг оси z приводит просто к фазовому множителю e^im?, то перед нами состояние с определенным моментом количества движения вокруг этой оси, и момент количества движения сохраняется. Он навсегда остается равным m?. Конечно, повороты можно делать вокруг любых осей, и сохранение момента количества движения тоже будет получаться для любых осей. Вы видите, что сохранение момента количества движения связано с тем фактом, что, когда вы поворачиваете систему, вы получаете опять то же состояние, только с новым фазовым множителем.

Сейчас мы покажем вам, насколько обща эта идея. Применим ее к двум другим законам сохранения, по физической идее точно соответствующим сохранению момента количества движения. В классической физике существует также сохранение импульса и сохранение энергии, и интересно, что оба они тоже связаны с некоторыми физическими симметриями. Положим, у нас имеется физическая система — атом, или сложное ядро, или же молекула, или что угодно — и если мы возьмем ее и как целое передвинем на новое место, то ничего не изменится. Значит, мы имеем гамильтониан с тем свойством, что он в некотором смысле зависит от внутренних координат, но не зависит от абсолютного положения в пространстве. В этих обстоятельствах существует специальная операция симметрии, которая называется пространственным переносом. Определим ^D_x(а) как операцию смещения на расстояние а вдоль оси х. Тогда для каждого состояния мы сможем проделать эту операцию и получить новое состояние. И опять здесь возможны весьма специальные состояния, обладающие тем свойством, что когда вы их смещаете по оси х на а, вы получаете то же самое состояние (если не считать фазового множителя). И так же, как делалось выше, можно доказать, что когда так бывает, то фаза пропорциональна а. Так что для этих специальных состояний |?₀> можно писать

Коэффициент k, умноженный на ?, называется х-компонентой импульса. Его называют так потому, что это число, когда система велика, численно совпадает с классическим импульсом р_х. Общее утверждение таково: если гамильтониан не меняется при сдвиге системы и если вначале состояние характеризуется определенным импульсом в направлении х, то импульс в направлении х останется с течением времени неизменным. Полный импульс системы до и после столкновений (или после взрывов или еще чего-нибудь?) будет один и тот же.

Есть и другая операция, которая совершенно аналогична смещению в пространстве: сдвиг во времени. Положим, перед нами физические обстоятельства, когда ничто внешнее от времени не зависит, и вот в этих обстоятельствах мы помещаем нечто в некоторый момент времени в данное состояние и пускаем его на произвол судьбы. А в другой раз (в новом опыте) мы то же самое устройство запускаем двумя секундами позже или вообще ? секундами позже. И вот если ничего во внешних условиях не зависит от абсолютного времени, то все будет развиваться точно так же, как прежде, и конечное состояние совпадет с прежним конечным состоянием, за исключением того, что запоздает на время ?. В этих обстоятельствах также найдутся особые состояния, у которых развитие во времени обладает той особенностью, что запоздавшее состояние — это попросту старое состояние, умноженное на фазовый множитель. И на этот раз тоже ясно, что для этих особых состояний изменение фазы должно быть пропорционально ?. Можно написать

Общепринято при определении ? пользоваться знаком минус; при таком соглашении ?? — это энергия системы; она сохраняется. Итак, система с определенной энергией — это такая система, которая при сдвиге во времени на ? воспроизводит самое себя, умноженную на e^-i??. (Это как раз то, что мы говорили, когда определяли квантовое состояние с определенной энергией, так что все согласуется.) Это означает, что если система находится в состоянии с определенной энергией и если гамильтониан не зависит от t, то независимо от того, что произойдет дальше, система во все позднейшие времена будет обладать той же энергией.

Теперь вы понимаете, стало быть, какая связь между законами сохранения и симметрией мира. Симметрия по отношению к сдвигам во времени влечет за собой сохранение энергии; симметрия относительно положения на осях х, у или z влечет за собой сохранение соответствующей компоненты импульса. Симметрия относительно поворотов вокруг осей х, у и z влечет за собой сохранение х-, у- и z-компонент момента количества движения. Симметрия относительно отражений влечет за собой сохранение четности. Симметрия по отношению к перестановке двух электронов влечет за собой сохранение чего-то, чему не придумано еще названия, и т. д. Часть этих принципов имеет классические аналоги, а часть — нет. В квантовой механике есть больше законов сохранения, чем это нужно для классической механики или по крайней мере чем обыкновенно в ней в ходу.

Чтобы вы смогли разобраться в других книгах по квантовой механике, мы сделаем небольшую техническую ремарку и познакомим вас с одним общепринятым обозначением. Операция сдвига по времени — это как раз та самая операция ^U, о которой мы как-то говорили:

Многие предпочитают язык бесконечно малых сдвигов по времени или бесконечно малых перемещений в пространстве или поворотов на бесконечно малые углы. Поскольку всякое конечное смещение или угол можно постепенно накопить последовательными бесконечно малыми смещениями или поворотами, то часто легче проанализировать сначала этот бесконечно малый случай. Оператор бесконечно малого сдвига ?t во времени есть (по определению гл. 6, вып. 8)

Тогда Н аналогично классической величине, которую мы именуем энергией, потому что если ^H|?> оказывается равным постоянной, умноженной на |?>, а именно если ^H|?>=E|?>, то эта постоянная есть энергия системы.

То же самое проделывается и с другими операциями. Если мы делаем легкое смещение по х, скажем на ?x, то состояние |?>, вообще говоря, перейдет в некоторое новое состояние |?'>. Мы можем написать

потому что, когда ?x стремится к нулю, |?'> обязано обратиться опять в |?>, или, что то же самое, ^D_x(0)=1, а для малых ?x отклонение ^D_x(?x) от единицы должно быть пропорционально ?x. Оператор р_х, определенный таким путем, называется оператором импульса (естественно, для x-компоненты).

По тем же причинам для малых поворотов обычно пишут

и называют ^J_z оператором z-компоненты момента количества движения. Для тех особых состояний, для которых ^R_z(?)|?₀>=е^im? |?₀>, можно для каждого малого угла, скажем ??, разложить правую часть до членов первого порядка по ?? и получить

Сравнивая это с определением ^J_z по формуле (15.28), приходим к

Иначе говоря, если вы действуете оператором ^J_z на состояние с определенным моментом количества движения вокруг оси z, то получаете m?, умноженное на это состояние, где m?—количество z-компоненты момента количества движения. Все совершенно аналогично тому, как действие ^H на состояние с определенной энергией дает Е|?>.

Теперь хотелось бы перейти к некоторым приложениям идеи о сохранении момента количества движения, чтобы показать вам ее в действии. Дело в том, что в действительности все это очень просто. О том, что момент количества движения сохраняется, вы знали и раньше. Единственное, что вам нужно запомнить из этой главы, это что если у состояния |?₀> есть такое свойство, что при повороте на угол ? вокруг оси z оно превращается в е^im?|?₀>, то z-компонента момента количества движения равна m?. Этих знаний достаточно, чтобы получить уйму интересных вещей.