§ 6. Произвольные повороты

Теперь уже понятно, как быть с произвольным поворотом. Во-первых, заметьте, что любая относительная ориентация двух систем координат может быть описана тремя углами (фиг. 4.9).

Фиг. 4.9. Ориентацию любой системы координат х', у', z' по отношению к другой системе х, у, z можно определить с помощью углов Эйлера ?, ?, ?.

Если есть система осей х', у', z', ориентированных относительно х, у, z как угодно, то соотношение между ними можно описать тремя углами Эйлера ?, ? и ?, определяющими три последовательных поворота, которые переводят систему х, у, z в систему х', у', z'. Отправляясь от x, у, z, мы поворачиваем нашу систему на угол ? вокруг оси z, перенося ось х на линию х'. Затем мы проводим поворот на угол ? вокруг этой временной оси х₁, чтобы довести ось z до z'. Наконец, поворот вокруг новой оси z (т. е. вокруг z') на угол ? переведет ось х₁ в х', а ось у в у'[16]. Мы знаем преобразования для каждого из трех поворотов — они даются формулами (4.19) и (4.34). Комбинируя их в нужном порядке, получаем

Итак, начав просто с некоторых предположений о свойствах пространства, мы вывели преобразование амплитуды при любом повороте. Это означает, что если нам известны амплитуды того, что любое состояние частицы со спином ¹/₂ перейдет в один из двух пучков прибора Штерна—Герлаха S с осями х, у, z, то мы можем подсчитать, какая часть перейдет в каждый пучок в приборе Т с осями х', у' и z'. Иначе говоря, если имеется состояние ? частицы со спином ¹/₂, у которого амплитуды пребывания вверху и внизу по отношению к оси z системы координат х, у, z равны С₊=<+|?> и С_-=<-|?>, то тем самым мы знаем амплитуды С₊ и C_- пребывания вверху и внизу по отношению к оси z' любой другой системы х', у', z'. Четверка коэффициентов в (4.35) — это члены «матрицы преобразования», с помощью которой можно проецировать амплитуды частицы со спином ¹/₂ в другие системы координат.

Теперь решим несколько примеров, чтобы посмотреть, как все это работает. Возьмем следующий простой вопрос. Пустим атом со спином ¹/₂ через прибор Штерна—Герлаха, пропускающий только состояние (+z). Какова амплитуда того, что атом окажется в состоянии (+x)? Ось +х — это все равно, что ось +z' системы, повернутой на 90° вокруг оси у. Поэтому в этой задаче проще воспользоваться выражением (4.32), хотя, конечно, можно применить и полное уравнение (4.35). Поскольку С₊=1 и С_-=0, то получится С'₊=1/?2. Вероятности — это квадраты модулей этих амплитуд; таким образом, 50% шансов за то, что частица пройдет сквозь прибор, отбирающий состояние (+х). Если бы мы поинтересовались состоянием (-х), то амплитуда оказалась бы -1/?2, что опять дало бы вероятность ¹/₂, чего и следовало ожидать из симметрии пространства. Итак, если частица находится в состоянии (+z), то ей в равной степени вероятно побывать в состояниях (+x) и (-х). Но фазы противоположны.

Ось у тоже без претензий. Частица в состоянии (+z) имеет равные шансы быть в состоянии (+у) или (-у). Но теперь (согласно формуле для поворота на -90° вокруг оси х) амплитуды суть 1/?2 и -i/?2. В этом случае разница в фазах двух амплитуд уже не 180°, как было для (+х) и (-х), а 90°. В этом-то и проявляется различие между х и у.

Вот еще пример. Пусть нам известно, что частица со спином ¹/₂ находится в состоянии ?, поляризованном вверх относительно оси А, определяемой углами ? и ? (фиг. 4.10).

Фиг. 4.10. Ось А, определяемая полярными углами ? и ?.

Мы хотим знать амплитуду <C₊|?> того, что частица относительно оси z окажется в состоянии «вверх», и амплитуду <C_-|?> того, что она окажется в состоянии «вниз» относительно той же оси z. Эти амплитуды мы можем найти, вообразив, что А есть ось z' системы, у которой ось х' направлена произвольно, скажем лежит в плоскости, образованной А и z. Тогда можно перевести систему А в систему х, у, z тремя поворотами. Во-первых, надо сделать поворот на -?/2 вокруг оси A, что переведет ось x в линию В на рисунке. Затем повернуть на -? вокруг линии В (вокруг новой оси х системы А), чтобы ось А попала на ось z. И, наконец, повернуть вокруг оси z на угол (?/2-?). Вспоминая, что вначале было только одно состояние (+) по отношению к А, получаем

Мы хотели бы напоследок подытожить результаты этой главы в форме, которая окажется полезной для нашей дальнейшей работы. Во-первых, напомним, что наш основной результат (4.35) может быть записан в других обозначениях. Заметьте, что (4.35)— это то же самое, что и (4.4) Иначе говоря, в (4.35) коэффициенты при С₊=<+S|?> и C'_-=<-S|?> суть как раз амплитуды <jT|iS> в (4.4), амплитуды того, что частица в состоянии i по отношению к S окажется в состоянии j по отношению к Т (когда ориентация Т по отношению к S дается углами ?, ? и ?). Мы их также называли R^TS_ji в выражении (4.6). (Чего-чего, а обозначений у нас хватало!) Например, R^TS_-+=<-T|+S> — это коэффициент при С₊ в формуле для С_-, а именно isin(?/2)exp[i(?-?)/2]. Поэтому сводку наших результатов мы можем дать в виде табл. 4.1.

Таблица 4.1. АМПЛИТУДЫ <jT|iS> ДЛЯ ПОВОРОТА, ОПРЕДЕЛЯЕМОГО УГЛАМИ ЭЙЛЕРА ?, ?, ? (ФИГ. 4.9)

Было бы удобно иметь эти амплитуды расписанными для некоторых особо важных случаев. Пусть R_z(?) — поворот на угол ? вокруг оси z. Так же можно обозначить и соответствующую матрицу поворота (опуская молчаливо подразумеваемые индексы i и j). В том же смысле R_x(?) и R_y(?) будут обозначать повороты на угол ? вокруг оси х и оси у.

В табл. 4.2 мы приводим матрицы — таблицы амплитуд <jT|iS>, которые проецируют амплитуды из системы S в систему Т, где Т получается из S указанным поворотом.

Таблица 4.2. АМПЛИТУДЫ <jT|iS> ДЛЯ ПОВОРОТА R(?) НА УГОЛ ? ВОКРУГ ОДНОЙ ИЗ ОСЕЙ R_я(?)