СТАТИКА
СТАТИКА
Существуют две точки зрения, в соответствии с которыми трактуется вопрос о путях формирования статики эпохи Возрождения.
Согласно одной из них, которой придерживался П. Дюэм, можно говорить о прямой преемственности между средневековой школой Иордана, разрабатывавшей кинематический вариант статики, восходящей к «Механическим проблемам», и статикой таких представителей Возрождения, как Леонардо да Винчи и Джироламо Кардано.
Сторонники другой точки зрения считают, что о такой преемственности говорить нельзя и что трактаты «О тяжестях» уже к XIV в. полностью потеряли свое значение. Однако вряд ли можно согласиться с последней точкой зрения. Известно, что в XV—XVI вв. эти трактаты продолжали переписывать и комментировать, а в XVI в. были дважды изданы трактаты самого Иордана.
Влияние школы Иордана, в частности работ итальянского ее представителя XVI в. Блазиуса из Пармы, можно проследить в опубликованных посмертно работах Леонардо да Винчи: «Трактате о живописи», «О движении и измерении воды» и целом ряде заметок.
Прежде всего Леонардо, как и его предшественники, обращается к закону равновесия рычага, который формулирует следующим образом: «Ту же пропорцию, которая существует между длиной рычага и противорычага, найдешь между величиной их весов и медленностью движения и в величине пути, проходимого каждым из их концов, когда они достигнут постоянной высоты своей точки опоры»{69}.
Этот закон формулируется на основании целой серии экспериментов, которые рассматриваются как промежуточная стадия работы, за которой следует теоретическое обоснование. Леонардо проводит его исходя из понятия «тяжести соответственно положению» школы Иордана[9]. В смысле строгости и логической стройности доказательство Леонардо значительно уступает формулировкам его предшественников; как и все подобные рассуждения, оно отражает свойственный ему инженерный подход к рассматриваемым явлениям. Его обоснование конкретнее физически и свидетельствует о реальном обращении с реальным рычагом. С помощью сформулированного правила Леонардо решает задачи как для линейного, так и для ступенчатого рычага.
ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ (1452-1519)
Итальянский художник и ученый эпохи Возрождения, великий гуманист. Родился в г. Винчи. Работал во Флоренции, Милане, Риме; умер во Франции. Леонардо да Винчи был не только художником, но и математиком, механиком, физиком и инженером, которому обязаны важными открытиями самые разнообразные отрасли науки и техники
В более поздних заметках он связывает правило рычага с понятием центра тяжести тела или системы тел, обнаруживая глубокое знакомство с архимедовской теорией равновесия плоских фигур.
Однако Леонардо усвоил лишь общую идею аргументации Архимеда, отбросив саму суть его математического метода. Математику же, без которой он, как и большинство представителей науки Возрождения, считал недостоверным всякое знание, понимает весьма узко: для него это лишь возможность численной проверки какого-либо утверждения; математической он считал такую формулировку, которая устанавливает числовую зависимость между несколькими величинами, обычно в виде пропорции.
Как практик он подходит и к теории весомого рычага.
«Наука о тяжестях, — говорит он, — вводима в заблуждение своей практикой, которая во многих частях не находится в согласии с этой наукой, причем и невозможно привести ее к согласию. И это происходит от осей вращения весов, благодаря которым создается наука об этих тяжестях. Эти оси, по мнению древних философов, имеют природу математической линии и в некоторых случаях являются математическими точками — точками и линиями, которые бестелесны; практика же полагает их телесными»{70}.[10]
Что касается конкретных задач на весомый рычаг, то Леонардо интересовали главным образом две из них. Первая, более простая, — задача о нахождении веса груза,который надо подвесить на меньшем плече весомого рычага (весов), чтобы уравновесить вес большего плеча, не имеющего груза; вторая, более сложная, — нахождение условия равновесия такого рычага, оба неравновесных плеча которого нагружены. Однако Леонардо не смог сформулировать общее правило равновесия такого рычага, хотя и учитывал вес коромысла балансированием его.
Следует отметить введенное им понятие «потенциального» плеча, под которым Леонардо понимал величину перпендикуляра, опущенного из точки опоры на направление силы. Эти представления можно с известной степенью осторожности считать зародышем понятия момента силы относительно неподвижной точки. Пользуясь понятием «потенциального» плеча, Леонардо правильно решает задачу о равновесии рычага, в концах плеч которого закреплены идущие под некоторыми углами нити, перекинутые через блоки и натягиваемые некоторыми грузами.
Опираясь на свои эксперименты с полиспастами и другими сочетаниями подвижных и неподвижных блоков, Леонардо пытался сформулировать правило соотношения сил и скоростей перемещения груза и точки приложения силы тяги, т. е. некий вариант «золотого правила» механики.
Менее удачными были его попытки установить условие равновесия на наклонной плоскости и распределение веса в косо поставленном стержне.
Проблематикой, связанной с дальнейшим развитием традиций школы Иордана, занимались и такие известные математики и механики Возрождения, как Тарталья (1499-1557) и Кардано (1501-1576).
Хотя Тарталью занимали главным образом вопросы динамики (движение брошенных тел), он неоднократно обращался и к проблемам статики. В частности, именно благодаря Тарталье представители Итальянской школы XVI в. получили возможность ознакомиться с основными проблемами статики XIII в. Тарталья обладал анонимным трактатом XIII в., написанным в традициях школы Иордана, который он после некоторой обработки и добавлений передал известному венецианскому издателю Курцию Трояну. Трактат был опубликован в 1565 г. под названием «Сочинения Иордана о тяжестях, изученные и исправленные Николо Тартальей»[11].
Существенное влияние трактатов «О тяжестях» сказалось в работах Кардано. В пользу этого свидетельствуют, в частности, его рассуждения о движении тяжелого тела по окружности, в которых он пользуется понятием «тяжести соответственно положению».
Кроме того, и Тарталья, и Кардано были знакомы с работами Леонардо да Винчи по механике, и это, вероятно, оказало определенное влияние на их творчество.
Но в статике XVI в. намечается и другая тенденция, тенденция к возрождению и развитию архимедовского направления геометрической статики, прочно забытой в средние века.
Началом изучения можно считать конец XV — начало XVI в., когда после взятия турками Константинополя в Западной Европе появились привезенные византийскими беженцами остатки собраний античных рукописей.
Франческо Мавролико (1494—1575) и Федериго Командино (1509—1575) принадлежат первые переводы Архимеда (на латинский язык) и комментарии к ним; причем оба автора помимо комментирования рассматривают и многочисленные собственные задачи на определение центров тяжести различных фигур.
Среди ученых, развивавших методы геометрической статики, следует прежде всего упомянуть ученика Командино Гвидо Убальди дель Монте (1545—1607), который был воинствующим сторонником архимедовской традиции и считал абсолютно несостоятельным направление школы Иордана. В отличие от кабинетных ученых, к которым принадлежало большинство «архимедистов» эпохи Возрождения, дель Монте сам непосредственно занимался инженерной практикой.
Вопросов статики он касается в двух сочинениях: «Книга о механике» и «Замечания по поводу трактата Архимеда «О равновесии плоских фигур». Кроме сочинений Архимеда дель Монте ссылается на Паппа и Герона Александрийского, влияние которых сказалось в его описании «простых машин».
В основе статики дель Монте лежит геометрическая теория равновесия элементарных систем подвешенных тяжелых тел. В своих рассуждениях он исходит из ряда допущений.
1. Центр тяжести подвешенного тяжелого тела находится на вертикали, проведенной через точку подвеса.
2. Моменты сил тяжести и сил тяги (или давления, если они имеются) относительно неподвижной точки равны.
Дель Монте еще не вводит явно понятие момента силы как произведения силы на перпендикуляр, опущенный из неподвижной точки на направление этой силы, но практически неоднократно им пользуется. С помощью геометрического метода он рассматривает задачи о равновесии рычага, весов и грузов на наклонной плоскости. Следует отметить, однако, что в некоторых задачах Дель Монте отступает от геометрической традиции. В задаче о равновесии груза, подвешенного на веревке, перекинутой через блоки, он прибегает к одному из элементарных вариантов принципа возможных скоростей.
Значительный вклад в разработку проблем геометрической статики внес другой крупный представитель науки Возрождения — Джованни Баттиста Бенедетти (1530— 1590). Хотя Бенедетти был учеником Тартальи, в статике он придерживался традиции Архимеда. Более того, в первых главах своего основного труда «Книга различных математических и физических рассуждений» он не только рассматривает ошибочные положения своего учителя, но и подвергает принципиальной критике основные положения школы Иордана, в частности понятие «тяжести соответственно положению».
В своей теории равновесия простейших систем подвешенных тяжелых тел Бенедетти исходит из следующих двух положений: архимедовского закона равновесия рычага и закона равенства моментов сил, т. е. полностью, как мы видим, примыкает к направлению дель Монте.
Понятием момента силы (хотя сам этот термин он еще не вводит) Бенедетти пользуется систематически и формулирует его достаточно четко. Он пишет, что «если хотят сравнить друг с другом величины, которые измеряют действия грузов или движущих сил, то следует каждую из них определять с помощью перпендикуляра, опущенного из центра рычага на направление силы».
С помощью принципа сравнения моментов сил Бенедетти получает окончательное решение поставленной еще Аристотелем задачи об устойчивости Т-образных весов в прямом и перевернутом положениях.
Таким образом, сторонники архимедовской традиции в механике итальянского Возрождения в добавление к архимедовскому принципу равновесия подвешенных тяжелых тел, связанному с понятием центра тяжести тела и системы тел, ввели в геометрическую статику принцип равенства моментов сил.
Хотя в трудах дель Монте и Бенедетти этот принцип представлен в чисто геометрической форме, однако само это понятие появилось под определенным влиянием кинематического направления. Выше упоминалось, что в зачаточной форме оно имеется уже у Леонардо да Винчи, с трудами которого, и в частности с его соображениями по этому поводу, ученик Тартальи Бенедетти был хорошо знаком.
Следует отметить, что и дель Монте, и Бенедетти, в общем далекие от кинематического направления, но связанные с инженерной практикой своего времени[12], проявляли определенную тенденцию к выработке кратких технических правил расчета равновесия тел, в которых сказывается влияние этого направления.
Крупнейшим и наиболее последовательным представителем геометрического направления был фламандец Симон Стевин (1548—1620). Его труды сыграли завершающую роль в развитии геометрического направления элементарной статики и гидростатики эпохи Возрождения.
Стевин был сторонником максимальной строгости и точности расчетов, которых, по его мнению, можно достигнуть лишь с помощью строгих и четких методов геометрической статики. В этом смысле он был наиболее ревностным последователем Архимеда и решительно отвергал традиции кинематической статики, в которой этой четкости не усматривал.
Первые главы его основного труда по механике «Начала статики» (впервые издан в 1586 г. на фламандском языке и переиздан в 1605 г. в собрании «Математических сочинений» Стевина) содержат резкую критику кинематического направления начиная с «Механических проблем».
Свою статику Симон Стевин строит аксиоматически. Вначале дается серия определений, в основу которых положена совокупность основных постулатов геометрической статики Архимеда. Таким образом, закон равновесия рычага Стевин выводит, опираясь на два упомянутых выше архимедовских принципа[13].
Далее этот закон используется для вывода условий равновесия в более сложных случаях. Кроме того, он вводит еще один дополнительный принцип, который можно назвать принципом невозможности вечного движения или принципом невозможности самостоятельного нарушения равновесия в системе, если это нарушение не меняет ни величины, ни расположения в ней грузов.
Руководствуясь этим принципом, Стевин доказывает условие равновесия груза на наклонной плоскости, точнее, в случае двух наклонных плоскостей. Это условие он формулирует в виде следующего предложения: «Пусть мы имеем треугольник, плоскость которого перпендикулярна, а основание параллельно плоскости горизонта; на двух других его сторонах расположены два шара одинаковой величины и одинакового веса; действующая тяжесть левого шара относится к соответствующей ему противолежащей действующей тяжести правого шара, как длина правой стороны треугольника к длине левой».
Приведем его доказательство.
Наклонные стороны рассматриваемого треугольника ABC с вершиной В относятся, как 2 : 1. К двум шарам на этом треугольнике, который представляет собой сечение призмы, Стевин добавляет двенадцать других одинаковых с ними шаров. «Соединим их друг с другом равными нитями, образовав из них ожерелье, в котором наши четырнадцать шаров находятся на равных расстояниях друг от друга. Наденем это ожерелье на наш треугольник так, чтобы на сторону АВ пришлось четыре шара, а на сторону ВС всего два». (Эту цепь с шарами равного веса на равных расстояниях друг от друга можно рассматривать как однородную тяжелую нить.)
Исходя из своего дополнительного принципа, Стевин считает, что рассматриваемая замкнутая цепь будет находиться в равновесии. Перемещение ее в любую из сторон ничего не меняет ни в величине, ни в расположении грузов системы, а цепь сама не проявляет тенденции к перемещению в какую-либо из сторон[14].
Восемь шаров, висящих под основанием треугольника, на равновесие не влияют, так как эта часть нити в состоянии покоя имеет совершенно симметричную форму. Если отбросить эту часть нити, то в состоянии равновесия системы оставшихся двух отрезков нити ничего не изменится. Эти отрезки будут уравновешивать друг друга. Следовательно, грузы уравновешиваются пропорционально длинам сторон.
Термин «действующая тяжесть» Стевин, как мы видим, употребляет для обозначения того, что позже стали называть составляющей силы тяжести вдоль наклонной плоскости. Его утверждение, таким образом, эквивалентно утверждению, что для уравновешивания груза на наклонной плоскости необходимо приложить к нему направленную вдоль этой плоскости силу, обратно пропорциональную ее длине.
Заметим, что еще Леонардо да Винчи принадлежат высказывания о невозможности вечного движения{71}. Аналогичные соображения высказывает Кардано: «Для того чтобы имело место вечное движение, нужно, чтобы передвигавшиеся тяжелые тела, достигнув конца своего пути, могли вернуться в свое начальное положение, а это невозможно без наличия перевеса, как невозможно, чтобы в часах опустившаяся гиря поднималась сама».
Установив правило разложения груза на наклонной плоскости, Стевин использует его для вывода правил разложения данной силы на две взаимно перпендикулярные составляющие и сложения сил, направленных под прямым углом друг к другу.
Заметим, что именно Стевин ввел обозначение сил стрелками и понятие силового треугольника (т. е. установил, что если три силы образуют треугольник, они уравновешиваются).
Существенные результаты Стевин получил, рассматривая задачи, в которых теория наклонной плоскости сочетается с теорией «веревочных машин» (т. е. блоков, полиспастов и др.). Обращение к этим вопросам в значительной степени стимулировалось практикой кораблестроения и техникой погрузки и разгрузки кораблей с помощью наклонной плоскости и «веревочных машин».
Рассматривая случаи, когда три нити образуют между собой углы, среди которых нет ни одного прямого, Стевин пришел к обобщению своего правила разложения силы на две взаимно перпендикулярные составляющие для общего случая ее разложения по правилу параллелограмма.
Насущными вопросами практики можно объяснить и то, что он включил в свою «Статику» особый раздел о блоках и полиспастах.
Значительную роль сыграли исследования Стевина в развитии гидростатики, а именно в области теории равновесия тяжелой жидкости. Особый интерес к вопросам гидростатики можно объяснить его практической деятельностью в должности инспектора плотин и консультанта голландского адмиралтейства.
Гидростатика Стевина (так же как и его статика) представляет собой дальнейшее развитие геометрического метода Архимеда на том уровне, которою требовала техника строительства плотин в Голландии XVI—XVII вв.
Кроме основных законов гидростатики Архимеда Стевин формулирует еще два положения, касающиеся элементарных свойств несжимаемой тяжелой жидкости.
1. О полной потере веса объема жидкости, если его погрузить в эту же жидкость. При выводе его Стевин применяет свой дополнительный принцип статики «о невозможности вечного движения». На основании этого принципа Стевин утверждает, что опускание такого объема внутри жидкости ничего не изменяет в расположении жидкости во всем сосуде.
2. Так называемый «принцип отвердения», смысл которого состоит в утверждении, что давление на поверхность частичного объема жидкости со стороны окружающей жидкости не зависит от того, чем заполнен этот частичный объем. Воображаемую поверхность этого объема, которая предполагается твердой и невесомой, Стевин называет «поверхностным сосудом».
Исходя из этих двух положений, он следующим образом выводит закон гидростатического давления. В силу первого положения «поверхностный сосуд», заполненный водой, не будет иметь веса внутри воды, а если он «пуст», то он испытывает давление вверх, равное весу воды, которая может его наполнить. Если же этот «сосуд» заполнен другим веществом, то в силу второго положения давление воды на него останется тем же самым. Следовательно, вес такого «сосуда» при погружении его в воду уменьшится на вес такого же объема воды.
«Принцип отвердения» используется далее для определения давления воды на дно сосуда произвольной формы, а также для вывода закона равновесия воды в сообщающихся сосудах.
Аналогичным путем подходит Стевин к задаче об определении давления воды на боковые стенки сосуда, задаче, которая имела существенное значение в практической деятельности по расчету плотин.
Говоря в целом о деятельности Стевина в области механики, можно считать его достижения завершающим этапом в развитии геометрического направления элементарной статики и гидростатики.