ВКЛАД ЯКОБИ В РАЗВИТИЕ ДИНАМИКИ

ВКЛАД ЯКОБИ В РАЗВИТИЕ ДИНАМИКИ

Карл Густав Якоби (1804—1851) — один из крупнейших немецких математиков и механиков первой половины XIX в. Он был профессором математики сначала в Кенигсбергском, а затем в Берлинском университетах. В 1829 г. Якоби был избран членом-корреспондентом, а в 1836 г. действительным членом Берлинской академии наук. За свои выдающиеся научные заслуги он был избран членом многих зарубежных академий наук. Русские ученые одними из первых оценили огромное значение его исследований по математике и механике и уже в 1830 г. избрали его членом- корреспондентом Петербургской академии наук; три года спустя (в 1833 г.) ему было присвоено звание почетного члена Петербургской академии наук. Следует отметить, что Карл Якоби живейшим образом интересовался деятельностью Петербургской академии наук. Укреплению связей К.Г. Якоби с русскими научными кругами, в частности с М.В. Остроградским, благоприятствовал личный момент: его брат Мориц, крупный физик (известный в России как Борис Семенович Якоби), был русским академиком (с 1837 г.). К.Г. Якоби — один из создателей теории эллиптических функций, ему принадлежат крупные достижения в области теории чисел, линейной алгебры, интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления. Он ввел в математику функциональные определители, которые часто называют в его честь якобианами. Основной труд Якоби по механике — его замечательные «Лекции по динамике», выполненные в 1842—1843 гг. и изданные его учеником А. Клебшем (1839—1894) после смерти Якоби в 1866 г. Эти лекции представляют собой развитие классической аналитической механики Лагранжа и содержат много новых идей как по математике (теория дифференциальных уравнений в частных производных, вычисление геодезических линий на эллипсоиде), так и по механике.

Исходным моментом исследований Якоби по механике является принцип Гамильтона — Остроградского, предложенный в первоначальной форме ирландским механиком и математиком У.Р. Гамильтоном и в окончательной ферме русским ученым М.В. Остроградским.

В своих «Лекциях» Якоби значительно развил теорию канонических уравнений Гамильтона, существенно расширив класс механических систем, к которым она применима. Изложив принцип Гамильтона и выведя канонические уравнения для любых механических систем, обладающих силовой функцией, в которую может входить время, Якоби применяет к этим уравнениям теорему С. Пуассона, открытую им в связи с другими задачами механики.

КАРЛ ГУСТАВ ЯКОБИ (1804-1851)

Немецкий математик. К. Якоби сделал ряд важных открытий в области теории эллиптических функций, вариационного исчисления, дифференциальных уравнений, теоретической механики и других математических дисциплин 

В дальнейшем Якоби находит много различных случаев получения интегралов уравнений движения. Например, рассматривая системы с силовой функцией, Якоби показывает, что в случае, когда можно выбрать такие обобщенные координаты q_i, где силовая функция не зависит от координаты q_s, а живая сила зависит от нее, можно получить интеграл данной системы уравнений в виде o_s = const (при этом говорят, что координата q_s циклическая).

Важнейший результат К. Якоби — его теорема о том, что канонические уравнения являются уравнениями характеристик некоторого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, т. е. интегральные поверхности указанного уравнения в частных производных состоят из интегральных кривых системы канонических уравнений, определяющих движение механической системы. Тем самым интегрирование канонических уравнений сводится к разысканию полного интеграла уравнений в частных производных.

Дальнейшее обобщение метода Гамильтона — Якоби было осуществлено М.В. Остроградским.