I. АНТИЧНАЯ МЕХАНИКА

I.

АНТИЧНАЯ МЕХАНИКА

Началом расцвета механики как науки можно считать XVII век — век бурного развития математического естествознания. Именно тогда сформировались основные законы классической механики. Однако зарождение механических знаний относится к глубокой древности, а термин «механика» применялся в античном мире. Правда, ему в течение долгого времени, по крайней мере до середины XVII в., придавали иной смысл. Происходит он от древнегреческого слова mechane, которым называли все искусно придуманное, понимая при этом механическое искусство. Это относилось как к различным машинам и механизмам, так и вообще к «хитроумным» изобретениям. Слово mechane употреблялось и в более узком смысле. Первоначально оно обозначало название подъемных машин, в частности машин, с помощью которых в греческих театрах поднимали и опускали актеров, и вообще механизмов, позволяющих посредством силы поднимать значительные тяжести на достаточно большую высоту.

Позже этим словом стали называть различные метательные машины, применявшиеся в античной технике.

В настоящее время теория машин и механизмов является одним из разделов механики, а название «механика» распространено на науку о всех видах механического движения.

Историю механики как науки о машинах и механизмах можно начинать с очень глубокой древности. Уже в эпоху неолита и бронзового века появилось колесо, несколько позже применяются рычаг и наклонная плоскость. Регулярное применение рычага и наклонной плоскости начинается в связи со строительными работами в древневосточных государствах. И, разумеется, все это время шел процесс выработки, осознания ряда более или менее абстрактных понятий, таких, как сила, сопротивление, перемещение, скорость.

Народы, создавшие великие цивилизации в бассейнах Нила, Тигра и Евфрата, были хорошо знакомы с такими механическими орудиями, как рычаг и клин. Первые египетские пирамиды строились примерно за три тысячи лет до нашей эры. На сооружение самой высокой из них — пирамиды фараона Хуфу (Хеопса) пошло 23 300 000 каменных глыб, средний вес которых равен 2,5 т. При сооружении храмов, колоссальных статуй и обелисков вес отдельных глыб достигал десятков и даже сотен тонн. Такие глыбы из каменоломен доставлялись на место сооружения храма на специальных салазках. В каменоломнях для отрыва каменных глыб от породы служил клин.

Подъем тяжестей осуществлялся с помощью наклонной плоскости. Например, наклонная дорога к пирамиде Хафра (Хефрена) имела подъем 45,8 м и длину 494,6 м. Следовательно, угол наклона к горизонту составлял около 5,3°, и выигрыш в силе при поднятии тяжестей на эту высоту был значительным. Для облицовки и пригонки камней, а возможно, и при подъеме их со ступеньки на ступеньку применялись качалки. Для поднятия и горизонтального перемещения каменных глыб служил также рычаг. С древнейших времен был известен в Египте и рычаг для подъема воды (шадуф).

Ирригационные сооружения междуречья Тигра и Евфрата (Древний Вавилон), Средней Азии (Древний Хорезм, Согдиана) и Ирана, высокий уровень строительной техники, о котором свидетельствуют многочисленные памятники этой эпохи, позволяют предположить, что при их постройке также использовались «простые машины»: рычаг, клип, наклонная плоскость. С давнего времени (и почти до наших дней) в ирригационных сооружениях Средней Азии для подъема воды служил чигирь — усовершенствованный вариант египетского шадуфа.

Однако до нас не дошел ни один древнеегипетский или вавилонский текст с описанием действия подобных машин. Поэтому остается открытым вопрос, были ли известны тогда, например, свойства рычага, которые греки позднее выразили при помощи пропорций, ныне знакомых каждому школьнику. То же относится к древней Средней Азии и Ирану, где письменные источники практически не сохранились: найдены лишь небольшие фрагменте древнехорезмийских и согдийских рукописей. Основная масса их была уничтожена во время арабского завоевания Средней Азии в VIII в. н. э.

Таким образом, механику Древнего Востока можно отнести к предыстории современной механики. Этот период предыстории характеризуется применением результатов накопленного практического опыта, и эти результаты, видимо, не подвергались теоретической обработке.

Известно, однако, что некоторой теоретической обработке в Древнем Вавилоне подвергались результаты астрономических наблюдений. С точки зрения истории механики значительный интерес представляют вавилонские методы вычисления параметров движения небесных тел, которые реконструированы, правда, на основании изучения вавилонских астрономических текстов достаточно поздней эпохи — эпохи Селевкидов (III—I вв. до н. э.). Это таблицы эфемерид Солнца, Луны и планет, содержащие константы периодического движения светил.

Так как наблюдательные инструменты вавилонян не могли гарантировать точность даже в секундах, а данные таблиц имеют точность до терций, естественно предположить, что вавилонские астрономы обрабатывали результаты наблюдений таким образом, чтобы представить их в виде арифметических рядов, соответствующих ступенчатой и линейной зигзагообразной функциям. На таком уровне научного мышления представление о скорости движения должно было принять достаточно абстрактный характер.

Характер античной механики определялся экономическими основами рабовладельческого хозяйства. Развитие рабства в Греции явилось предпосылкой для более широкого разделения труда в производстве. До известного периода это обеспечивало более быстрый рост техники и производительных сил, рабовладельцы же получили досуг для интеллектуальной деятельности. Однако рабовладельческое хозяйство содержало в себе элементы, тормозившие дальнейший рост техники. Рабам в основном поручались такие примитивные работы, которые или вообще не требовали орудий труда, или выполнялись крайне грубыми орудиями, так как раб, низведенный сам до степени орудия труда, не был заинтересован пи в сохранности, ни в совершенствовании этих орудий.

Таким образом, из особенностей рабовладельческой экономики вытекали примитивный характер античной техники и ее медленная эволюция. К рычагу и клину в эллинистическую эпоху, начавшуюся на рубеже IV—III вв. до п. э.₇ добавляются еще блок и винт. В виноделии и маслоделии использовался пресс, как рычажный, так и основанный на принципе вдавливаемого клина, а затем винтовой. Для подъема и горизонтального передвижения тяжестей греки и римляне применяли ворот — с горизонтальной осью в первом случае и с вертикальной — во втором. В строительном деле употреблялись также блоки и системы блоков — полиспасты. Вращательные движения преобразовывали с помощью систем зубчатых колес. Более сложные механические орудия (водяное колесо, червячная передача, винт, насос, и т. д.) применялись сравнительно редко — рабский труд препятствовал распространению механических приспособлений.

Однако в античном мире были виды деятельности, не связанные или почти не связанные с применением рабского труда. Это военное и морское дело, потребностями которых в значительной степени определялось развитие античной техники. На греческих и римских судах, как гражданских, так и военных, рабы использовались лишь в качестве гребцов. Более ответственные операции — управление рулями, парусами и т. д. — были делом свободных граждан.

Уровень развития техники в военном деле (особенно в эллинистический и римский периоды) был значительно выше, чем в сельском хозяйстве. Уже в V в. до н. э. (Пелопонесская война) в афинской армии применялись тараны, которые достигали гигантских размеров. Для метания больших стрел пользовались катапультами; прототипом пулемета был полибол для непрерывного метания стрел; баллисты служили для метания камней. С их помощью ядро в 4 фунта могло быть брошено на расстояние до 300 м. Существовали специальные прицельные приспособления и приборы для изменения траектории.

Очень важным видом деятельности, способствующим развитию техники и механических приспособлений, явилось ремесленное производство, которое (особенно в Греции и эллинистическом мире) было в значительной степени уделом свободных граждан. Именно с ремесленным производством связана разработка различных способов поднятия и перемещения тяжестей при помощи механических приспособлений, «хитроумных устройств», в ткацком, гончарном, ювелирном деле и т. д., т. е. всего того, что, пользуясь современной терминологией, можно объединить в понятие «техническая механика».

Значительным стимулом совершенствования механических устройств было развитие торговли (как внутренней, так главным образом и международной), связанной с применением золота в качестве менового эквивалента и распространением драгоценных камней. Это способствовало использованию рычага в различных его видах, так как торговые операции требовали более точных способов взвешивания. Появляются весы и безмены самых разнообразных конструкций: с перемещающейся точкой опоры, с неподвижной точкой опоры, но перемещающимся грузом и т. д. Практика взвешивания грузов на безменах основывалась на эмпирическом знании закона рычага, и сама она в свою очередь доводила эти законы до степени очевидности. Устройство безмена было основано на твердом убеждении, что двойному грузу, подвешенному к одному плечу рычага (с неподвижной точкой опоры и постоянным но величине противовесом), соответствует вдвое большее удаление противовеса от точки опоры.

Принципиально новым для античной механики по сравнению с научными достижениями Древнего Востока было то, что наряду со стихийным применением результатов многовекового практического опыта появляются и механические теории.

Характерной чертой античной механики является разобщенность учения о движении — кинематики и учения о равновесии — статики. Развитие этих основные областей механики в течение длительного времени (вплоть до XVII в. — периода объединения их в единую науку) шло независимо друг от друга. И это в значительной мере предопределено традициями античной науки. Учение о движении разрабатывалось в рамках общего учения о природе: вопрос о сущности движения был одной из фундаментальных проблем древнегреческой философии. Чисто кинематическое описание движений стало делом астрономов, создававших и достаточно сложные инструменты для своих наблюдений и измерений, и механические модели мироздания: движение небесных тел, согласно общепринятым в античной науке взглядам, не требовало причинных объяснений. Учение о равновесии развивалось на основе опыта применения различных приспособлений.

Таким образом, есть основание выделить три направления и три линии развития в теоретической механике античного мира, которая зародилась в Древней Греции в VI—V вв. до н. э. и развивалась затем в эллинистических государствах и в созданной римлянами империи примерно до V в. н. э. Статика была почти непосредственно связана с техническими запросами; ее основными проблемами был расчет выигрыша в силе, достижимого с помощью известных механических приспособлений, и вывод условий равновесия при взвешивании и плавании тел. Кинематическое направление находилось, по крайней мере в эллинистическую эпоху, в русле астрономической традиции, к тому времени имевшей многовековую историю. В обеих этих областях был достигнут достаточно высокий уровень математизации этой науки — с использованием геометрии, тригонометрии и методов инфинитезимального характера. Общее учение о движении, чем занимались философы, было в основном качественной теорией. Оно в соответствии с установками главных философских школ эпохи оставляло в стороне количественную сторону дела и искало объяснения механических явлений, опираясь на повседневный опыт и наблюдения, путем сравнений и сопоставлений.

Наиболее ранние сочинения античных авторов, содержащие механические теории, не сохранились. Однако несомненно, что большинство этих теорий посвящено проблемам статики и что их основой служил принцип рычага. Известно, что Архит Тарентский (ок. 428—365 г. до и. э.) разрабатывал теорию блока полиспастов, но результаты его исследований до нас не дошли. Ему же некоторые античные авторы приписывают изобретение винта. Изобретение бесконечного винта для подъема и передвижения тяжестей и бесконечного водоподъемного винта связывают с именем Архимеда. По-видимому, появление винта вызвало постановку новых технических и математических проблем. Однако, если следовать хронологии источников, надо начинать не с Архимеда, а с философов Древней Греции.

Уже на ранних стадиях развития греческой философии можно обнаружить зачатки двух принципиально различных механических концепций, которые можно назвать кинетической и динамической.

Основные положения динамической концепции древних сводились к следующему: материи чуждо самодвижение — сама по себе она может пребывать лишь в покое; движение материи определяется действием на нее активных движущих начал — сил, существующих независимо от нее и действующих извне. По Эмпедоклу, например, материя приводится в движение двумя противоборствующими мировыми силами: любовью и враждой.

Напротив, с точки зрения кинетической концепции в природе нет каких-либо особых начал движения, не связанных с материей: материи свойственно самодвижение. Наиболее последовательными представителями античного кинетизма были атомисты — Левкипп, Демокрит, Эпикур и Лукреций. Принцип механического самодвижения материи в общей форме выражен в их учении о несоздаваемости и неразрушимости материи и движения. Согласно атомистам, природа ничего не содержит, кроме материи, движущейся в пустом пространстве.

Яркое и определенное выражение идея вечности и неуничтожаемости движения нашла у Гераклита Эфесского (ок. 530 г. — ок. 470 г. до н. э.). Гераклит учил, что все существующее в природе возникает из вечно движущегося огня. Огонь Гераклита нужно понимать не в смысле обычного пламени, но как некую огнеподобную первооснову вещей. Мир как совокупность вещей сотворен не богом или человеком, а был, есть и будет вечно живым огнем, закономерно воспламеняющимся и закономерно угасающим. Об этом фрагменте Ленин замечает: «Очень хорошее изложение начал диалектического материализма».^{1}

Учение о вечности движения вызвало реакцию со стороны Парменида и других философов элейской школы, которые считали, что это учение делает невозможным познание, ибо о там, что меняется, нельзя сказать ничего определенного. Элеаты утверждали, что истинное бытие неподвижно и находится вне времени и пространства, а наши представления о пространстве, времени и движении противоречивы и сложны. Это положение защищалось мастером древней диалектики Зеноном в его знаменитых «Парадоксах». Наибольшее же влияние на дальнейшее развитие механики оказало учение Аристотеля.

В аристотелевской натурфилософии фундаментальное место занимает учение о движении. Его сочинения «Физика», «О небе», «О возникновении и уничтожении», «О метеорах» и отчасти «Метафизика» содержит достаточно полное изложение общих понятий механики.

Движение он понимает в широком смысле, как изменение вообще, различая изменения качественные, количественные и изменения в пространстве.

Кроме того, в понятие движения он включает психологические и социальные изменения — там, где речь идет об усвоении человеком технических знаний или об обработке материалов. Понятие движения включает в себя также переход из одного состояния в другое, например из бытия в небытие. Механическое движение, т. е. изменение в пространстве, Аристотель рассматривает, таким образом, как частный случай движения вообще.

Не удовлетворяясь учением о механической причинности, развивающимся древними атомистами, Аристотель различал четыре вида причин: материальную, действующую (или причину движения), формальную pi финальную (цель, или «ради чего»). В первой книге «Метафизики» Аристотель отмечает, что до него ученые указывали на материальную причину (ионийские натурфилософы), затем добавили причину движения (элеаты, Эмпедокл и Анаксагор) и, наконец, некоторые говорили о формальных причинах, признавая идеи за начала вещей (школа Платона), но лишь он впервые указал на цель (или «ради чего») как на четвертую причину образования вещей. Эти телеологические моменты физического учения Аристотеля впоследствии были раздуты средневековой схоластикой.

АРИСТОТЕЛЬ

(384—322 до н. э.)

Древнегреческий мыслитель. Его сочинения охватывают все современные ему области знания. Аристотель оказал огромное влияние на последующее развитие научной и философской мысли. Его труды на протяжении многих веков были важным источником теоретической мысли и научного знания

На основе различения четырех причин Аристотель ставит вопрос об источнике движения. Материя сама по себе является пассивным началом и низшим по отношению к форме: ей чуждо самодвижение. Согласно учению атомистов, в пустоте тела могут сохранять наличное движение само по себе, без внешних импульсов. Напротив, в учении Аристотеля центральным пунктом является идея косности, пассивности материи. На первый план выдвигается различие между движимым и движущим. Даже в самодвижущихся одушевленных телах Аристотель различал движимое и движущее. Они также требуют наличия чего-то движущего; разница лишь в том, что неодушевленные тела имеют источник движения вовне, в то время как самодвижущееся тело имеет такой источник в самом себе. Аристотель выделяет движения прямолинейные, или ограниченные, и круговые, или неограниченные. Круговое движение, которое он считает «совершенным», свойственно небесным телам. Далее Аристотель различает два вида движений: «естественное» и «насильственное». «Естественные» движения совершаются сами собой, без всякого вмешательства извне. «Насильственные» движения для своего осуществления требуют такого вмешательства.

Для объяснения причины «естественного движения», не связанного с движением небесных тел[1], Аристотель вводит понятие «естественного места». Стремление к «естественному месту» заложено в каждом теле, совершающем «естественное движение». Каждому роду тел свойственно свое «естественное место»: для тяжелых тел это Земля, поэтому они на нее падают, а для легких — огонь, т. е. расположенная над воздухом огненная сфера, поэтому они поднимаются вверх. Если какое-либо тело переместить из его «естественного места», оно будет стремиться назад, совершая прямолинейное движение. Небесным телам свойственно стремление к «совершенному» круговому движению.

Для «естественных» движений это нечто, присущее самому телу, а для «насильственных» — внешняя причина движения.

Под силой Аристотель понимает всякую способность, поскольку последняя может быть причиной начала действия или противодействия. «Движущая сила» в «насильственном движении» зависит от «активности» источника движения, т. е. от степени приложенной к движущемуся телу мускульной энергии человека или животного.

Сила для Аристотеля — причина движения, и она должна непрерывно поддерживать движение[2]. Но тогда возникает вопрос: чем же поддерживается движение в телах, оторвавшихся от того, что их двигало, т. е. силы, которая сообщила им движение? Аристотель отмечает, что когда мы толкаем по плоскости тело, например шар на столе, то одновременно приводим в движение и окружающий его воздух. В образующуюся за движущимся шаром пустоту устремляется воздух и как бы подталкивает его. По этой причине шар не останавливается мгновенно после прекращения действия силы, а некоторое время движется вследствие воздействия окружающей среды. Воздушная среда в данном случае является активным началом движения, ибо, не будь ее, тело должно было бы мгновенно прийти в состояние покоя.

В отличие от элеатов Аристотель считает движение вечным. «Невозможно допустить, чтобы не было движения… Движение необходимо существует всегда»^{2}. Но он расходится и с древними атомистами: материя не самодвижима. Различая движущее и движимое, Аристотель утверждает, что «одни из существующих предметов неподвижны, другие всегда движутся, третьи причастны к покою и движению»^{3}.

Предположим теперь, что движение тела Ах обусловлено движением тела А₂, движение тела А₂ — движением тела А₃ и т. д. Чтобы не продолжать без конца этот процесс, полагал Аристотель, мы должны признать существование первого двигателя, который должен быть либо неподвижным, либо самодвижущимся. В последнем случае нужно различить в нем движимую и движущую части. А так как двигатель в самодвижущемся теле уже ничем не приводится в движение, то сам он должен быть неподвижным, и, следовательно, если рассматривать цепь, в которой всякое последующее звено представляет движимое, то первое звено этой цепи должно быть извечным «первичным неподвижным двигателем»^{4}.

Первичный неподвижный двигатель, по Аристотелю, порождает простые, однородные, непрерывные и бесконечные движения. Вращательные движения небесных сфер являются примером таких вечных непрерывных и совершенных движений.

Существование неподвижных вечных двигателей аргументируется также ссылкой на вечность движения: если бы не существовало первых начал движения, неподвижных и вечных по своей природе, то движение не могло бы быть вечным.

Таким образом, вечным у Аристотеля является только вращательное движение небесных сфер, да и оно не мыслится без первого двигателя. В земных же условиях движение (местное движение) происходит по упомянутому уже принципу, ставшему догмой средневековой науки: «с прекращением причины прекращается ее следствие». Поэтому как между движением небесных и земных тел, так и между состояниями движения и покоя проводится строгое разграничение — в полном соответствии, заметим, с данными повседневного, «житейского» опыта и наблюдений.

У Аристотеля мы находим и соображения, дающие основание для количественного определения силы. Для того чтобы лучше разобраться в сути дела, введем некоторые современные термины и обозначения. То, что Аристотель называет движущим, мы будем называть силой и обозначать буквой f. Величину движимого будем называть весом, или сопротивлением движимого тела[3], и обозначим буквой p. Тогда приводимые ниже рассуждения Аристотеля сведутся к следующему: сила пропорциональна произведению скорости тела, к которому она приложена, на его вес, т. е.

f = pv = p?s/t,

где s — пройденный путь, t — соответствующее время, а v — скорость[4].

Текст самого Аристотеля (с использованием только что указанных обозначений) примет такой вид: «В равное время t сила, равная f, продвинет половину p на двойную длину s, а на целое s в половину времени t. Такова будет пропорция. И если одна и та же сила движет одно и то же тело в определенное время на определенную длину, а половину — в половинное время, то половинная сила продвинет половину движимого тела и в то же время на равную длину»^{5}.

Заметим тут же, что в силу соблюдения «принципа однородности» наше определение скорости (средней) v = s/t было чуждым античной науке. Для сравнения скоростей тел сопоставляли либо расстояния, пройденные ими за одинаковое время, либо промежутки времени, за которые пройдено было одинаковое расстояние. Соответственно Аристотель вводит понятие «равноскорого» движения, при котором тело «в равное время движется одинаково». «Равноскорым, — говорил он, — является то, что в равное время продвинулось на равную величину», и «…необходимо более быстрому в равное время двигаться больше, в меньшее время — одинаково»^{6}.

В «Физике» Аристотеля рассматривается и вопрос о сопротивлении движению (перемещению) со стороны среды, в которой движется тело, и со стороны тела.

«Чем бестелеснее среда, через которую происходит движение, чем меньше она показывает сопротивления и чем легче разделима, тем быстрее перемещение»^{7}.

Условием возможности движения является превосходство силы P над сопротивлением движению г, связанным с телом. Если сила P в определенное время t переместит тело с сопротивлением г на расстояние s, то это не значит, что Р/2 продвинет тело с сопротивлением r на s/2 или что Р способна переместить тело с сопротивлением 2r на вдвое меньшее расстояние s/2. При этом может случиться, что никакого движения не произойдет. «Иначе, — замечает Аристотель, — и один человек мог бы двигать судно, если только силу гребцов и длину, на которую они все двигали его, разделить на их число»^{8}.

Следовательно, заключает он, отношение скоростей становится бесконечно большим, когда сопротивление оказывается равным нулю, а последнее возможно только в пустоте. «Для пустоты не существует никакого пропорционального отношения, в каком она (по своей тонкости) превосходила бы тело, так же как и нуля по отношению к числу»^{9}. Так как «пустота не стоит ни в каком отношении с наполненной средой, то не существует никакого отношения и между скоростями. «Если через тончайшую среду тело проходит во столько-то времени такую-то длину, то, двигаясь через пустоту, оно превзойдет всякую пропорцию»^{10}.

Таким образом, всякое движение возможно лишь в наполненном пространстве, так как в пустоте оно происходило бы мгновенно. Поэтому Аристотель отвергает существование пустоты.

Второй аргумент в пользу невозможности пустоты Аристотель выдвигает, обращаясь к изучению падения тел, «естественного» движения, обусловленного стремлением тяжелого тела к своему «естественному месту». Согласно учению Аристотеля, четыре стихии (земля, вода, воздух и огонь) расположены во Вселенной концентрически и таким же образом расположены их «естественные места». Все, за исключением огня, имеет «тяжесть», находясь в своем «естественном месте». Если же вышележащая стихия насильственно перемещена в нижележащую, она проявляет стремление к своему «естественному месту», т. е. приобретает «легкость». Так Аристотель объясняет, почему одни и те же тела (например, дерево) опускаются в воздухе и всплывают в воде. Однако в своих рассуждениях он почти не обращается к рассмотрению движения «легких» тел, а интересуется движением брошенных или падающих «тяжелых» тел, с которым связывает вопросы скорости и ее возрастания. Скорость падения тела в разных средах в силу изложенного выше обратно пропорциональна «тяжести» тела. Аристотель считал, что из двух тел одинакового объема и формы падает в воздухе быстрее то, у которого больше «тяжесть». «Тела, имеющие большую силу тяжести или легкости, если они в остальном имеют одинаковую фигуру, скорее проходят равное пространство в том пропорциональном отношении, в каком указанные величины находятся друг к другу»^{11}. Различие скоростей падения в материальной среде обусловлено только тем, что более «тяжелые» тела одинакового объема и формы легче «разделяют среду своей силой». Если же рассматривать движение тела в пустоте, то это условие отпадает. Следовательно, в пустоте все тела должны иметь равную скорость, но это невозможно.

В соответствии с этим ни Аристотель, ни его последователи не рассматривали падения тела в пустоте, так как для них пустота является физическим абсурдом. Когда Аристотель говорит о различной скорости падения, он всегда имеет в виду падение в различных средах. Поэтому он отвергает учение атомистов о существовании абсолютно пустого пространства, независимого от находящихся в нем тел и индифферентного ко всякого рода их взаимодействиям. Пространство, понимаемое как чистое протяжение и являющееся пассивным вместилищем тел, несовместимо, по мнению Аристотеля, с понятием движения. Пространство для него — величина, непрерывная по протяженности, а время — величина, непрерывная по последовательности.

Пространство Аристотеля — физическое пространство, свойства и сущность которого связаны с физическим бытием материи. Аристотель определяет «место» не как объем, занимаемый телом в абсолютном, т. е. существующем независимо от тел, пространстве, а как границу объемлющего тела, т. е. тела, соприкасающегося с объемлемым. Место, по Аристотелю, не может быть чем-то принадлежащим предмету. Оно не может быть ни его материей, ни формой, ибо и материя, и форма неотделимы от предмета, в то время как место меняется в процессе движения. О месте в строгом смысле можно говорить лишь при наличии двух тел: объемлющего и объемлемого. Пространство, рассматриваемое как совокупность мест, является наполненным; там, где есть место, должно быть наполненное пространство, ибо место и есть не что иное, как граница объемлющей материальной среды. К пустоте понятие места вообще неприменимо. Земля и небесные тела, отдельно взятые, находятся в известных местах, ибо они окружены мировым эфиром, но мир в целом, сферическая Вселенная античной астрономии, «не находится в месте», так как за пределами этой Вселенной нет больше ничего.

Аргументы атомистов в защиту пустоты Аристотель отводил следующим образом: «Они утверждают, во-первых, что иначе движения по отношению к месту, т. е. перемещения и увеличения, не было бы: нельзя предполагать движения, если не будет пустоты, так как наполненное не имеет возможности воспринять что-либо»^{12}. «Но нет никакой необходимости, — отвечает Аристотель, если существует движение, признавать пустоту… Это относится только к перемещению, так как тела могут уступать друг другу место одновременно при отсутствии какого-либо отдельного промежутка наряду с ними»^{13}.

С точки зрения Аристотеля, пустое пространство атомистов является лишь абстракцией чисто геометрических свойств реального физического пространства. Интересно его указание, что если стать на позицию Демокрита, то это с необходимостью повлечет признание неприемлемой для аристотелизма инерции движения. Аристотель пишет: «Никто не может сказать, почему тело, приведенное в движение (в пустоте), где-нибудь остановится, ибо почему оно скорее остановится здесь, а не там. Следовательно, ему необходимо или покоиться, или бесконечно двигаться, если только не помешает что-нибудь сильное»^{14}. И далее: «Но каким же образом может быть движение по природе, если нет никакого различия в пустоте и в бесконечности; поскольку имеется бесконечность, ничто не будет ни вверху, ни внизу, ни посредине, поскольку пустота — не будет различия между верхом и низом»^{15}.

Аристотель отвергает учение элеатов об абсолютной неподвижности истинного бытия. «Утверждать, что все покоится, и подыскивать обоснования этому, оставив в стороне свидетельство чувств, будет какой-то немощью мысли и спором… не только против физики, но, так сказать, против всех наук и всех учений, так как все они пользуются движением»^{16}.

Отвергая существование пустого пространства, Аристотель отвергал и существование «чистого», или «пустого», времени. Вместе в тем он проводил тонкие различия между временем и движением.

Анализируя понятие времени, Аристотель замечает, что некоторые неправильно принимали круговращение неба за само время; в действительности это круговращение служит средством для измерения времени. Если движение не может быть без времени, то и время не существует без движения. «Время не есть движение, но и не существует без движения». Если бы не было изменений, не было бы и времени. При отсутствии изменений все «теперь» были бы тождественны, следовательно, все пребывало бы в едином и нераздельном «теперь». Что же такое время? Так как «мы вместе ощущаем и движение и время», то «время есть или движение, или нечто, связанное с движением». Но время отлично от движения, так как движения могут иметь различную скорость и, следовательно, они должны измеряться временем. Время же есть «число движений» или «мера движения»^{17}.

К эпохе античности относится выделение статики в особую теоретическую дисциплину, которую древние называли «искусством взвешивать» и ставили рядом с арифметикой («искусством считать»).

Статика принадлежала к тем естественнонаучным дисциплинам, которые в Древней Греции подвергались наибольшей математизации. Ярким примером этого может служить статика Архимеда, созданная по образцу геометрии Евклида.

К античной эпохе восходит зарождение двух направлений в статике: кинематического и геометрического.

Первое направление, как видно, возникло из практики пользования простыми механизмами (рычагом, наклонной плоскостью и др.) для передвижения и поднятия грузов. При этом законы равновесия тел изучались путем рассмотрения того, что происходит при нарушении равновесия, например рассматривали неуравновешенный рычаг, т. е. рычаг в движении. Вывод основных теорем статики в этом случае был связан со скрыто или явно принимаемыми допущениями из области динамики.

Второе направление развивалось в связи с расчетом равновесия архитектурных конструкций: балок, плит и т. п., подпертых в одной или нескольких точках, а также равновесия подвешенных тяжелых тел, т. е. всевозможных видов весов (но в таких вопросах использовались и кинематические соображения). При исследовании стремились свести задачу к схеме неподвижного и уравновешенного рычага. С геометрическим направлением статики связано возникновение понятия центра тяжести.

Начало кинематического направления в статике восходит к «Механическим проблемам» псевдо-Аристотеля, геометрическое направление связано прежде всего с именем Архимеда.

«Механические проблемы» — самое давнее дошедшее до нашего времени античное сочинение собственно по механике. Долгое время оно приписывалось Аристотелю.

На самом же деле «Механические проблемы» были написаны в начале III в. до н. э. в эллинистическом Египте. На это указывает, например, упоминание о приводящих друг друга в движение бронзовых или железных колесах в святилищах: такие колеса находились в египетских храмах.

Трактат состоит из 36 глав и содержит перечисление и описание ряда механизмов: рычага, колодезного журавля с противовесом, клещей, клина, топора, кривошипа, вала, колеса, катка, полиспаста, гончарного круга, руля и т. д. Не только задачи, но нередко и их решения даются в форме вопросов, т. е. лишь намечаются или даются предположительно.

Центральная тема трактата — принцип рычага, который автор рассматривает как универсальный принцип статики. Поэтому основным содержанием «Проблем» является описание различных видов рычага, к которым сводятся описанные механизмы. Так, например, автор говорит: «Почему два человека, неся одинаковую тяжесть на шесте или на чем-либо подобном, испытывают одинаковую нагрузку только тогда, когда груз находится посредине, и испытывают нагрузку тем большую, чем ближе груз к одному из несущих? Не потому ли, что шест при этих условиях становится рычагом, груз — гипомохлием (точкой опоры) и из носильщиков — тот, кто находится ближе к грузу, становится грузом, приводимым в движение, а второй — грузом, приводящим в движение? Ведь чем дальше этот второй находится от переносимого груза, тем легче он движет и тем более давит книзу на другого, как если бы налегающая тяжесть давила в противоположном направлении и стала гипомохлием. А если груз помещается в середине, то один не оказывается тяжестью для другого и не движет другого, и тот и другой уравновешиваются взаимно»^{18}. Здесь мы встречаем следующий вопрос: «Почему малый руль, привешенный на корме корабля, имеет столь большую силу?… Быть может, потому, что руль есть рычаг, а рулевой есть то, что приводит его в действие? Стало быть, место, где он прикреплен к кораблю, становится точкой опоры, руль в целом — рычагом, море — грузом, а рулевой — движущей силой».^{19}

Попытка более широкого обобщения сделана уже па первой странице сочинения. «Механические проблемы» начинаются словами: «Удивление вызывают из происходящих сообразно природе те явления, причина которых остается неизвестной, а из происходящих вопреки природе те, которые производятся искусством на благо людям… Таковы случаи, когда меньшее одолевает большее и обладающее малой силой приводит в движение большие тяжести, и вообще почти все те проблемы, которые мы называем механическими». И несколько далее: «К затруднениям подобного рода относятся и вопросы о рычаге, ибо кажется несообразным, что большая тяжесть приводится в движение малой силой, и это при еще большей тяжести. Ведь без рычага привести в движение такую тяжесть нельзя, а прибавив тяжесть рычага, можно привести в движение быстрее. Начало причины всего этого заключено в круге, и недаром: ибо вполне оправдано, если что-либо удивительное происходит от чего-то еще более удивительного. Но наиболее удивительно совместное возникновение противоположностей, а круг слагается из таковых. Ведь он сразу же возник из движущегося и покоящегося, чьи природы противоположны друг другу»^{20}.

Основная часть рассуждений автора сводится к тому, чтобы показать, что один и тот же груз движется тем быстрее, чем дальше он находится от точки опоры рычага, т. е. плечо рычага описывает тем большую дугу, чем оно длиннее.

«Многое удивительное происходит с движениями кругов оттого, что на одной и той же линии, проведенной из центра, ни одна точка не движется с равной скоростью, но всегда более далекая от неподвижного конца движется быстрее…»

Круговое движение точки рассматривается как состоящее из двух движений: тангенциального «сообразно природе» и центростремительного «вопреки природе», которое отклоняет точку от ее естественного прямого пути; отклоняющее движение «вопреки природе» в большом круге меньше, чем в малом. Поэтому за один и тот же промежуток времени точка, более удаленная от центра круга, будет двигаться быстрее и опишет большую дугу, чем менее удаленная.

Далее автор переходит к рассмотрению общего закона рычага, показывая, что равновесие грузов P₁ и Р₂ на его концах зависит от скоростей v₁ и v₂, которые грузы получают при перемещении концов. Свойство рычага связывается со свойством коромысла весов. Весы рассматриваются как прямой равноплечий рычаг первого рода.

Это подтверждает предположение, что закон рычага, по всей вероятности, был практически осознан прежде всего при взвешивании грузов на коромысловых весах (безменах).

«Почему малые силы, как уже было сказано вначале, движут при помощи рычага большие грузы, несмотря на прибавление веса рычага? Ведь легче двигать меньшую тяжесть, а она меньше без рычага. Не оттого ли, что причиной является рычаг, который представляет собой коромысло весов, имеющее веревку снизу и разделенное на неравные части? В самом деле, точка опоры рычага становится здесь заменой веревки, поскольку и та и другая остаются неподвижными в качестве центра. А так как под действием разных тяжестей быстрее движется большая линия, проведенная из центра (в рычаге же имеются три вещи: точка опоры, веревка и центр, во-первых, и, во-вторых и в-третьих, две тяжести — движущая и движимая), то поэтому приводимая в движение тяжесть так относится к приводящей в движение, как одна длина к другой, но в обратном отношении; ведь всегда, чем дальше она отходит от точки опоры, тем быстрее движется. Причина же заключается в сказанном раньше: дальше уходящая из центра описывает больший круг. Таким образом, при одной и той же силе движущая тяжесть, дальше отстоящая от точки опоры, пройдет больше».

Таким образом, если груз А закреплен на конце рычага, то вращать этот груз тем легче, чем дальше от точки опоры движущий груз В. Этот факт автор «Механических проблем» связывает с тем, что движущий груз, укрепленный на большом плече, будет иметь большую скорость v и по отношению к движимому, а следовательно, и больший путь.

Большинство остальных глав трактата посвящено применению правила рычага и решению разнообразных технических задач. Рассматриваются действие гребного весла и руля, действия колес тачки и колесницы, военных метательных машин, условия равновесия тяжелой балки на одной опоре (плечо носильщика) и т. д.

Большой интерес вызывают соображения автора «Механических проблем» о сложении движений. Можно думать, что принцип параллелограмма скоростей и перемещений как в форме сложения, так и в форме разложения движений был известен древним ученым в достаточно развитом виде. В «Механических проблемах» говорится: «Большая линия в равное время описывает больший круг, ибо наружный круг больше внутреннего. Причина этого заключается в том, что линия, описывающая круг, перемещается двумя движениями. Итак, когда она перемещается при определенном соотношении между обоими, она движется необходимо по прямой, и эта прямая становится диагональю той фигуры, которая образуется из линий, сочетаемых в указанном соотношении»^{21}.

Анализ способа построения касательной к спирали в книге Архимеда «О спиралях»^{22} говорит о том, что Архимеду также был известен закон сложения скоростей. Наконец, вся эллинистическая астрономия при описании движений небесных тел основывается на правилах сложения круговых движений.

Архимед — подлинный основатель теоретической статики и гидростатики.

Уже на самых первых этапах научной деятельности, по-видимому, механика интересовала Архимеда больше всего, причем переход к теоретическим обобщениям шел от чисто прикладных вопросов. Но и позже, помимо теоретических исследований в области математики, физики и механики, Архимед занимался вопросами прикладной механики, в частности в связи с потребностями обороны его родного города Сиракузы. Он обогатил античную технику большим количеством замечательных изобретений. Древние авторы приписывали Архимеду изобретение так называемой улитки — водяного винта, служившего для поливки полей в Египте (правильнее говорить в этом случае об его усовершенствовании). Рассказывают также, что при помощи механических приспособлений Архимед передвигал по суше тяжело нагруженный корабль сиракузского тирана Гиерона. Свидетельства древних расходятся в том, каковы были эти приспособления: одни говорят о рычаге, другие — о полиспасте, третьи — о зубчатых колесах, четвертые — о колесах, т. е. указывают почти все так называемые простые машины. Во время осады Сиракуз римлянами, по рассказу Плутарха (в биографии Марцелла), жители города применяли для обороны военные машины, сооруженные по указаниям Архимеда: орудия, метавшие снаряды, поворотные краны («клювы»), низвергающие огромные камни на вражеские корабли, привязанные к цепям железные лапы, которые захватывали нос корабля и ставили корабль вертикально на корму.

АРХИМЕД (ок. 287—212 до н. э.)

Древнегреческий математик и механик. Родился и большую часть жизни прожил в Сиракузах (Сицилия); был убит римлянами при взятии Сиракуз. Архимед установил законы рычага, открыл закон гидростатики, носящий его имя

Из сочинений Архимеда, посвященных механике, до нас дошли трактаты в двух книгах «О равновесии плоских фигур, или О центрах тяжести плоских фигур», трактат «О плавающих телах», также в двух книгах, и «Эфод, или Послание к Эратосфену о механических теоремах».

Первыми сочинениями Архимеда по механике были «Книга опор» и «О весах». Поскольку они до нас не дошли, об их содержании можно судить лишь по ссылкам в более поздних работах Герона и Паппа, а также по комментариям Евтокия и Симпликия^{23}. Анализ упомянутых сочинений показывает, что во время их написания Архимед еще не знал, что вес тела можно считать сконцентрированным в его центре тяжести, хотя и пользовался последним понятием. Понятие о центре тяжести появилось у Архимеда в итоге практического изучения распределения груза между опорами. Рассматривая давление балки на опоры, Архимед приходит, правда, к неверным результатам, но отсюда он перешел к одноопорной балке — рычагу. Эти ранние работы интересны тем, что в них кроме понятия центра тяжести появляется и понятие центра момента. Папп приводит следующее определение Архимеда для центра тяжести: «Центром тяжести некоторого тела называется некоторая расположенная внутри него точка, обладающая тем свойством, что если за нее (мысленно) подвесить тяжелое тело, то оно останется в покое и сохранит первоначальное положение»^{24}. Из комментария Евтокия известно определение центра момента. «Архимед называет центром момента плоской фигуры точку, при подвешивании за которую фигура остается параллельной горизонту; центром момента двух или более плоских фигур он называет точку подвеса рычага, остающегося параллельным горизонту, если прикрепить к его концам указанные фигуры»^{25}.

Теория центра тяжести с точки зрения практической механики, возможно, была развита в дошедшей до нас в виде отдельных фрагментов книге «О рычагах»^{26}. Математическое изложение теории центра тяжести, очевидно, впервые приведено также в не дошедшем до нас трактате «О равновесии», значительно большем по объему, чем «О равновесии плоских фигур».

В первой книге трактата «О равновесии плоских фигур» изложена теория равновесия рычага. Однако этот трактат имеет гораздо более важное значение: это основы общей теории равновесия, построенной на системе аксиом.

Исходя из действительных и простейших фактов опыта, Архимед сумел обобщить эмпирический материал техники и привести его с помощью математики в научную систему.

Теория рычага основана на следующих предпосылках, которые Архимед считает очевидными:

«1. Равнее тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести на большей длине.

2. Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено.

3. Точно так же, если от одной из тяжестей будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, от которой не было отнято.

4. При совмещении друг с другом равных и подобных плоских фигур совместятся друг с другом и их центры тяжести.

5. У неравных же, но подобных фигур центры тяжести будут подобно же расположены.

6. Если величины уравновешиваются на каких-нибудь длинах, то на тех же самых длинах будут уравновешиваться и равные им.

7. Во всякой фигуре, периметр которой везде выпукл в одну и ту же сторону, центр тяжести должен находиться внутри фигуры»^{27}.