РОЛЬ ГАМИЛЬТОНА В РАЗВИТИИ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ МЕХАНИКИ И ТЕОРИИ КВАТЕРНИОНОВ

РОЛЬ ГАМИЛЬТОНА В РАЗВИТИИ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ МЕХАНИКИ И ТЕОРИИ КВАТЕРНИОНОВ

Уильям Роуан Гамильтон (1805—1865) был одним из гениальных людей своего времени. Уже в ранние годы он поражал окружающих исключительными разнообразными способностями. В четырехлетнем возрасте он неплохо знал географию и свободно читал литературу на английском языке, а восьми лет овладел итальянским и французским языками, изучал арабский, санскрит и латынь. Особенно большую склонность проявлял юноша к математике.

В 1824 г. Гамильтон поступил в Тринити-колледж Дублинского университета, где успешно изучал математические науки и разрабатывал геометрическую оптику, или теорию лучей. В возрасте 22 лет молодой ученый был назначен профессором астрономии колледжа св. Андрея Дублинского университета и королевским астрономом Ирландии. В течение ряда лет он возглавлял также Дублинскую астрономическую обсерваторию и читал лекции по астрономии.

В 1837 г. Гамильтон был избран президентом Ирландской академии наук. Научные заслуги его нашли широкое признание во всем мире. В частности, в 1838 г. он был избран членом-корреспондентом Петербургской академии наук.

В 1828 г. в «Известиях» Ирландской академии наук Гамильтон опубликовал одну из своих самых знаменитых работ — «Теорию систем лучей». Исследуя системы оптических лучей, он исходил прежде всего из практических запросов их применения в оптических приборах. В третьем добавлении к этому труду ученый на основании сложных математических вычислений предсказал существование нового, до тех пор неизвестного явления — внешней и внутренней конической рефракции в двухосных кристаллах. Открытие Гамильтона вызвало огромный интерес и впоследствии сравнивалось с открытием планеты Нептун на основе вычислений Леверье.

Руководствуясь идеей оптико-механической аналогии, усматривая ее прежде всего в единой математической форме законов движения лучей и материальных частиц, Гамильтон использует в механике так называемый принцип наименьшего действия. Применяя этот принцип к определенным явлениям, Гамильтон исходил из того, что для действительного, осуществляющегося движения тел величина, равная произведению энергии на время и названная им «действием», должна иметь некоторое минимальное значение. Несколько позже Гамильтона и независимо от него принцип наименьшего действия был разработан русским ученым М.В. Остроградским, который распространил его на значительно более широкий круг явлений. Этот принцип теперь справедливо называется принципом Гамильтона — Остроградского. Он оказался мощным математическим оружием физики и был широко использован в работах Максвелла, Гельмгольца, Умова, Эйнштейна, де Бройля, Шредингера и других ученых.

Перейдя к механике, Гамильтон показал значение в ней своего нового вариационного принципа, а его характеристическая функция для задач механики (функция Гамильтона Н) оказалась при довольно широких условиях совпадающей с энергией механической системы. Зная, как выражается функция Н через координаты и импульсы составляющих систему материальных точек, можно сразу составить дифференциальные уравнения, определяющие координаты и импульсы. Получающаяся система дифференциальных уравнений («канонические уравнения») равносильна системе уравнений движения, в частности — системе уравнений Лагранжа второго рода, но обладает некоторыми особыми свойствами, облегчающими ее исследование.

Наконец, Гамильтон связал свою каноническую систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим дифференциальным уравнением в частных производных, которому, как выяснилось, удовлетворяет его характеристическая функция Н. Получилась обширная теория. Она дала новую удобную форму уравнений движения, новый подход к проблеме их решения (интегрирования). Она вскрывала более полно и глубоко аналогии между механикой и оптикой, выявила новые возможности геометрической интерпретации, наконец, она вела к выявлению связи между волновыми и корпускулярными представлениями, но последнее достаточно полно раскрылось лишь через столетие.

Необходимо сказать, что описанная выше теория не была дана Гамильтоном в достаточно общем и законченном виде: он вел свои исследования, переходя к механике, преимущественно в предположении, что имеет дело с системой свободных материальных точек, взаимодействующих с силами, зависящими только от взаимных расстояний. Обобщение результатов и методов Гамильтона, устранение излишних ограничений, тщательная разработка математических методов является заслугой К. Якоби и М.В. Остроградского. Поэтому часто можно встретить в литературе термин «теория Гамильтона — Якоби», но исторически более справедливо говорить о теории Гамильтона — Якоби — Остроградского.

Эта теория является основным достижением аналитической механики XIX в. Поначалу казалось, что ее главное значение в развитии аналитических методов. Но более глубокое выявление связи механики с оптикой и раскрытие возможности нового геометрического истолкования механических проблем имели принципиальное значение. Во второй половине XIX в. накопление новых фактов и разработка новых методов в аналитической механике шло главным образом по линии геометризации. В начале XX столетия, когда это направление сочеталось с новыми течениями в физике, именно на созданной им основе были пересмотрены основные понятия классической механики.

УИЛЬЯМ РОУАН ГАМИЛЬТОН (1805—1865)

Английский математик и механик. Гамильтон внес большой вклад в развитие вариационных принципов механики. Построил систему комплексных чисел, так называемых кватернионов 

Труды Гамильтона по механике получили высокую оценку. В 1842 г. па ежегодном собрании Британской ассоциации в Манчестере К. Якоби сказал: «Гамильтон — это Лагранж вашей страны». В 1866 г. Тэт охарактеризовал работу Гамильтона по динамике как «крупнейшее дополнение, полученное теоретической динамикой с тех пор, как были достигнуты великие успехи Ньютоном и Лагранжем». В 1835 г. Гамильтон был награжден золотой медалью Английского королевского общества.

Гамильтона всегда привлекала проблема мнимых величин, значение и геометрическая природа которых не были ясны математикам того времени. Замечательным вкладом в науку явилось открытие им в 1843 г. исчисления кватернионов — своеобразной системы чисел, представляющей собой обобщенную комплексную величину, которая состоит из суммы четырех членов. Первый член был назван ученым скаляром, три остальных — векторами (термин, введенный Гамильтоном и получивший широкое распространение в физике, механике и технических науках). В основе арифметики кватернионов лежат не две единицы, как в арифметике комплексных чисел (т. е. действительная и мнимая единицы), а четыре, операции над которыми подчинены определенным законам. Особые трудности представило для Гамильтона установление закона умножения кватернионов, который он нашел много времени спустя после того, как разработал правила их сложения и вычитания.

Гамильтон с большой глубиной и подробностью разработал теорию кватернионов, ее приложения в геометрии и механике, а также кватернионный и векторный анализы. Развитию этой теории он посвятил почти целиком последние 22 года своей жизни. В 1853 г. был опубликован капитальный труд Гамильтона по этой теории под названием «Лекции о кватернионах».

Историческая роль этой работы велика: во-первых, в ней заложены основы нынешнего векторного исчисления; во-вторых, теория кватернионов Гамильтона является одним из главных источников развития такой отрасли математики, как некоммутативная алгебра, т. е. алгебра, в которой не действует переместительный закон умножения. Такая некоммутативная алгебра получила широкое применение в современной теоретической физике.