III. МЕХАНИКА В СРЕДНЕВЕКОВОЙ ЕВРОПЕ

III.

МЕХАНИКА В СРЕДНЕВЕКОВОЙ ЕВРОПЕ

Сдвиги в науке и технике Запада начались несколько позднее, чем на Востоке, — с конца XI в. Они были вызваны серьезными изменениями в экономике. К этому времени становится более продуктивным сельское хозяйство, возникают ремесла, развивается торговля и денежное обращение, усиливается рост городов. Крестовые походы способствуют знакомству Европы с культурными достижениями Востока. Энгельс писал: «…Со времени крестовых походов промышленность колоссально развилась и вызвала к жизни массу новых механических (ткачество, часовое дело, мельницы), химических (красильное дело, металлургия, алкоголь) и физических фактов (очки), которые доставили не только огромный материал для наблюдений, но также и совершенно иные, чем раньше, средства для экспериментирования и позволили сконструировать новые инструменты. Можно сказать, что собственно систематическая экспериментальная наука стала возможной лишь с этого времени»^{51}.

Заметными становятся и успехи техники. В X—XII вв. большое развитие получили водяные мельницы, несколько позже — ветряные. Тогда же в Европе появились механические часы. Немаловажное значение для накопления знаний о законах природы имели изготовление военного снаряжения, кораблестроение, градостроительство, устройство крупных гидротехнических сооружений.

Развитие промышленности и повышение общего культурного уровня вызвали потребность в подготовке специалистов. Возникли светские школы, а в XIII в. были созданы новые университеты в Болонье, Париже, Падуе, Неаполе, Оксфорде. В XIV в. университеты были открыты в Пизе, Павии, Кракове, Вене, Гейдельберге, Ферраре и других городах. Старшими факультетами в большинстве университетов были богословский, медицинский и юридический, младшим — факультет искусства. Преподавание велось на латинском языке, который был общим языком для всех европейских ученых средневековья.

Одновременно возрастало и могущество церкви. Ее представители приспосабливались к изменяющимся условиям быстрее, чем светские феодалы. Богатства католической церкви росли со сказочной быстротой. Иннокентий III, бывший папой в 1198—1216 гг., объявил себя наместником бога на Земле. Теология продолжала играть основную роль в идеологической жизни. Для борьбы с «ересями» были созданы ордена доминиканцев и францисканцев и учреждена инквизиция, жертвой которой пали многие крупные ученые средневековья. Господствовала схоластика. Она основывалась на догматах христианской церкви и отличалась абстрактными, часто совершенно бесплодными и беспредметными рассуждениями. Но и сама схоластика менялась, приспосабливаясь к новым обстоятельствам.

В XII—XIII вв. европейская научная литература обогатилась большим числом латинских переводов с арабского и греческого. Стали доступными сочинения Платона, Аристотеля, Евклида, Архимеда, Птолемея, Герона, ал-Хорезми, Сабита ибн-Корры, Ибн-Сины.

Характерна судьба идей Аристотеля. Вначале его учение казалось опасным для церкви. Против него, как и против его средневекового комментатора Ибн-Рошда (Аверроэса), резко выступили многие влиятельные богословы, а в Парижском и некоторых других университетах было запрещено чтение лекций о «Метафизике» и естественнонаучных сочинениях Аристотеля. Вместе с тем церковь и ее идеологи пытались приспособить Аристотеля к Священному писанию. По выражению В.И. Ленина, «схоластика и поповщина взяли мертвое у Аристотеля, а не живое»^{52}. Уже в 1366 г. церковный декрет повелевал изучать «Логику», «Метафизику» и «Физику», без чего нельзя было получить первую ученую степень. А затем естественнонаучные взгляды Аристотеля были догматизированы и всякие возражения против них объявлялись «ересью».

В этих сложных условиях происходило развитие естественных наук, в частности механики. Прежде всего отметим, что термин «механика» по-прежнему понимался в весьма широком смысле. В сочинении саксонца Гуго (1096—1141) «Дидаскалион» в нее включались текстильное дело, изготовление оружия, охота, мореплавание, земледелие и т. п. — фактически вся область технической деятельности человека. Такое же понимание встречается в различных рецептурных сборниках типа «Записок о различных ремеслах» монаха Теофила (X в.). В книгах, носивших название «Механика», рассматривались лишь прикладные вопросы и кроме того элементарная теория пяти простых машин (рычага, полиспаста, клина, винта и ворота).

Однако уже в XII—XIII вв. появляются сочинения, авторы которых обращаются к проблемам собственно механики, главным образом статики и кинематики.

Как и в странах ислама, началу самостоятельной разработки проблем механики в средневековой Европе предшествовал период, когда стали усиленно переводить греческие источники, сохранившиеся главным образом на арабском языке, а затем и сочинения ученых стран ислама. Это в особенности относится к кругу проблем, связанных со статикой.

Мы уже упоминали о «Механике» Герона, которая известна в арабском переводе Косты ибн-Луки. В этот период на латинский язык переведен позднеалександрийский трактат «De canonio», посвященный неравноплечим «римским весам» (безмену), в котором рассматриваются и случаи весомого рычага. Этим же вопросам посвящен другой позднеэллинистический трактат «Книга о весах», сохранившийся только в арабском переводе. Рассмотренный выше трактат Сабита ибн-Корры перевел на латинский язык Герардо Кремонский. Кроме этого перевода «Liber Charastonis» известен в переработанном виде, содержащем только перечень основных предложений без доказательств.

В 1269 г. Вильям Мербеке перевел с греческого трактат Архимеда «О равновесии плоских фигур». Ему же принадлежит перевод с греческого трактата Архимеда «О плавающих телах» с комментариями Евтокия. Упомянем также широко распространенный в Западной Европе в XIII в. трактат «О телах, плавающих в жидкости», представляющий собой либо перевод с арабского, либо переработку арабского оригинала изложения Архимеда.

Сочинения по механике этого периода с известной долей схематизма можно разбить на три группы, посвященные трем основным направлениям, наиболее четко раскрывающим характер средневековой механики Западной Европы. Это: 1) трактаты по статике, 2) трактаты по кинематике, 3) трактаты, в которых разрабатывается понятие «импетуса», связанные с теорией падения тел.

Теоретические исследования в области статики в этот период были дальнейшим развитием кинематического направления, восходящего к «Механическим проблемам» псевдо-Аристотеля. Фундаментальное значение в разработке этих проблем имели труды Иордана Неморария (XII в.) и его школы. Это целый цикл трактатов, посвященных «науке о тяжестях».

Самому Иордану принадлежат трактаты «О тяжестях», «Элементы доказательств, относящихся к тяжестям» (некоторые исследователи считают, что Иордану принадлежат лишь комментарии к «Элементам», тезисы которых восходят к античной эпохе) и «Книга о пропорции тяжестей», наиболее интересное из сочинений Иордана. Относительно авторства этого трактата у ученых имеются различные точки зрения. Одни считают его принадлежащим самому Иордану, другие — ученым, вышедшим из его школы. Основное понятие, которым оперирует Иордан, — «тяжесть соответственно положению» некоторого груза, которая принимает различные значения в зависимости от его места на плече рычага. Это понятие представляет собой дальнейшее развитие положения автора «Механических проблем» о том, что один и тот же груз может проявлять различную «тяжесть», т. е. различно «тянуть» в зависимости от своего положения на конце более длинного или более короткого плеча рычага.

Автор «Проблем», как мы видели выше (см. гл.- I), представлял круговое движение в виде комбинации «естественного» движения «сообразно природе» (тангенциального) и «насильственного» движения «вопреки природе» (центростремительного). В круге большего радиуса отклонение от прямолинейного движения («сообразно природе») меньше, чем в круге меньшего радиуса. Движение «тяжести сообразно природе» происходит по прямой вниз, и груз, опускаемый на конце более длинного плеча рычага, меньше отклоняется под действием центростремительного движения «вопреки природе», т. е. он будет больше «тянуть» книзу или иметь большую «тяжесть соответственно положению». Переходя к сравнению движений по разным дугам одного и того же круга, Иордан указывает, что «плечо, опускаясь в весах из своего высшего положения книзу, описывает круг, радиус которого всегда равен плечу весов… Поскольку большая дуга круга более противоположна прямой линии, чем меньшая, падение тяжелого тела по большей дуге более, чем падение по меньшей дуге, противоположно падению тяжелого тела, которое должно происходить по прямой. Очевидно, следовательно, что большее насилие налично в движении по большей дуге, чем по дуге меньшей; ведь иначе движение не становилось бы более противоположным. Поскольку, следовательно, при опускании получается большая помеха, ясно, что это происходит в соответствии е положением тяжелых тел, в дальнейшем такая тяжесть будет называться тяжестью соответственно положению»^{53}.

«Более тяжелым, — говорится во всех трех указанных сочинениях, связанных с именем Неморария, — оказывается то, что при одном и том же положении опускается по линии, менее отклоняющейся от вертикали»^{54}.

Таким образом, «тяжесть» тем больше, чем меньше отклонение груза от вертикали. Иными словами, это величина, прямо пропорциональная проекции на вертикаль возможного при данных связях перемещения груза. Поэтому, определив соотношение между проекциями перемещений на вертикаль, можно было тем самым определить соотношение между пропорциональными им «тяжестями согласно положению».

На этом в «Элементах» основано доказательство того, что при равных грузах и разных длинах плеч рычага перевешивает груз, подвешенный к концу большего плеча: при доказательстве сравниваются проекции дуг, описываемых концами рычага, на вертикаль. Аналогичным образом показывается, что «тяжесть соответственно положению» становится тем меньше, чем больше концы рычага отходят от горизонтального положения равновесия.

В трактатах Иордана рассматриваются не только величины дуг, описываемых концами рычага, но и величины подъема и опускания по вертикали. В «Элементах» доказывается, что скорости опускания грузов и их «тяжести находятся друг к другу в одинаковом отношении, а отношение между опусканием грузов и противоположным ему движением подъема — такое же, но обратное»^{55}. На этом основывается доказательство основного закона рычага: при неравных плечах и грузах, обратно пропорциональных их длине, «тяжести соответственно положению» будут одинаковы.

Таким образом, условие равновесия рычага сводится к равенству «тяжести соответственно положению». В «Книге о пропорции тяжестей» это формальное геометрическое доказательство закона рычага распространяется на ломаный (коленчатый) рычаг. Условие его равновесия также доказывается с помощью сравнения вертикального подъема и опускания грузов. При доказательстве автор вплотную подходит к понятию о моменте вращения.

Понятие «тяжести соответственно положению» используется и при изучении движения на наклонной плоскости. В результате разложения силы тяжести на нормальную к плоскости и параллельную получается, что если грузы, поднятые на одинаковую высоту, прямо пропорциональны длинам наклона, то скорость в конце движения по наклонной плоскости будет одна и та же.

Далеко не все положения Иордана правильны. Так, в рассуждениях о ломаном (коленчатом) рычаге Иордан сравнивает «тяжести соответственно положению» для двух уравновешивающихся грузов в предположении, что оба груза опускаются, в то время как опускание одного из них ведет к поднятию другого. Подобные ошибки устранены в комментарии анонимного ученика Иордана (XIII в.). Он рассматривает «тяжести соответственно положению» только для таких перемещений грузов, которые одновременно не нарушают связей системы. Далее следует вывод об устойчивости равновесия прямого равноплечего рычага. Автор приходит к правильному выводу при рассмотрении условий равновесия ломаного (коленчатого) неравноплечего рычага. Новой является отсутствующая у Иордана задача о равновесии двух связанных грузов на двух наклонных плоскостях.

Как правило, в трактатах Иордана рассматриваются конечные дуги и их проекция на вертикаль. Однако и в «Элементах», и в «Книге о пропорции тяжестей» в нескольких случаях упоминаются «сколь угодно малые» и «любые» дуги. Впрочем, эти отдельные упоминания не отразились на общем подходе к исследованию всех рассматриваемых случаев равновесия рычага.

«Тяжесть соответственно положению» имеет некоторую аналогию с «силой движений» Сабита ибн-Корры. Это понятие можно рассматривать как дальнейший этап приближения к понятию работы силы тяжести на возможном перемещении.

Вся группа трактатов Иордана представляет собой, таким образом, следующий после арабских механических сочинений шаг на пути к принципу возможных перемещений в форме принципа возможных работ. Содержащиеся в них еще в смутной форме динамические понятия могли стать первыми звеньями связи между статикой и наукой о движении.

Трактаты Иордана и их обработки были широко распространены в Западной Европе в XIII—XV вв. Они известны во множестве копий этого периода. Помимо рукописей самих трактатов сохранилось значительное количество комментариев к ним XIII—XIV вв. Среди них два трактата Биаджо из Пармы (XIV в.), которые содержат как комментарий к трактатам Иордана, так и собственные исследования автора в этом направлении. Наиболее поздний дошедший до нас комментарий к «Элементам», принадлежащий Генри Англегену, относится к XV в.

Уместно поставить вопрос: в какой мере традиция, идущая от «Механических проблем» и разрабатываемая в трактатах Иордана, влияла на исследования по статике более позднего времени?

Среди исследователей на этот счет нет единого мнения. Одни отстаивали положение, что существует непосредственная преемственность между трактатами Иордана и сочинениями Леонардо да Винчи и Кардано; другие считали, что трактаты Иордана уже к концу XIV в. сохраняли лишь исторический интерес. Однако известны и более поздние их издания: Нюрнбергское («О тяжестях» Иордана), предпринятое в 1533 г.; подготовленное Тар тальей издание «О пропорциях тяжести» (Венеция, 1565 г.). Тарталья в своем собственном трактате «Вопросы и различные доказательства» приводит и комментирует многие предложения из трактата «О пропорциях тяжести». Ученик Тартальи, предшественник Галилея, Джованни Бенедетти в своем трактате «Книга различных математических и физических рассуждений» специальное место уделяет критике взглядов Иордана (а также своего учителя Тартальи). Есть основания считать, что влияние трактатов Иордана продолжало сказываться и в XVII в. Галилей был знаком с трактатом «О пропорциях тяжести» по изданию Тартальи.

Геометрическая статика, основанная на архимедовской традиции, на протяжении всего средневековья в Западной Европе развивалась сравнительно слабо. Большинство работ этого периода посвящено гидростатике.

В XIII в. в Европе был хорошо известен в латинском переводе упомянутый выше позднеэллинистический трактат «О телах, плавающих в жидкости», приписываемый Архимеду. Значительное распространение имели латинские переводы восточных трактатов, посвященных определению удельных весов, в частности трактата ал-Хазини «Весы мудрости». В переводах комментариев к этим трактатам уточняется понятие удельного веса, который противопоставляется «численному весу» (весу объема) вещества (в средневековых сочинениях плотность веществе определялась как отношение «количества вещества» к данному его объему, а удельный вес — как отношение «тяжести» к данному объему).

Под влиянием трактата Архимеда «О плавающих телах» Иоганнес де Мурис написал «Трактат о числах, состоящий из четырех частей». Автор пересказывает содержание трактата Архимеда, заменяя математические доказательства числовыми примерами.

К проблемам гидростатики обращается в своих «Вопросах к четырем книгам о Земле и небе Аристотеля» Альберт Саксонский (ум. в 1390 г.). В начале XV в. вопросами гидростатики (проблемой удельного веса) занимается Николай Кузанский. Его взгляды в определенной степени отражают знакомство с трактатом псевдо-Архимеда, хотя текст этого сочинения полностью лишен математических доказательств, столь характерных для этого трактата.

Однако по-настоящему геометрическая статика возрождается лишь в XVI в. в трудах Федериго Командино и его ученика Гвидо Убальди дель Монте, о которых мы расскажем в следующей главе.

Первое исследование по кинематике в средневековой Европе — трактат Герарда Брюссельского «О движении», написанный в конце XII — начале XIII в.

Развитие кинематики в древности связано с кинематико-геометрическим моделированием движения небесных тел в астрономии, применением движения в геометрии (например, у Архимеда) и развитием общих физико-механических теорий, которое следует главным образом аристотелевской традиции. Все это в той или иной мере отразилось на характере трактата Герарда. Основной интерес Герарда направлен на исследование соотношений между движениями линий, площадей и объемов, которые рассматриваются последовательно в его трактате. Заметим, что, следуя античной традиции, под термином «движение» Герард часто понимает скорость. Говоря о «равных движениях на дуге» и «равных движениях в точке», он, очевидно, имеет в виду скорость равномерного движения. Сравнивая линии двух фигур, Герард вводит принцип соответствия между двумя бесконечными множествами элементов. Этот метод обнаруживает большое сходство с приемом Архимеда, который тот применил в «Послании о методе», хотя этот трактат, по всей вероятности, не был известен в средневековой Европе. В согласии с этим приемом Герард рассматривает линии как совокупности точек, площади — как совокупности линий и т. д. «Если поверхности равны и любые их линии, взятые в том же отношении, равны и если ни одна из так взятых линий не имеет большего движения, чем линии другой поверхности, то и сама поверхность не будет иметь большего движения»^{56}. Герард всегда сравнивает перемещения, происходящие за равные промежутки времени.

Герард рассматривает круговые движения точек и вращательные движения поверхностей и тел. Определяя линию как совокупность точек, он утверждает, что прямая движется «одинаково с любой своей точкой, а радиус, вращаясь, «движется одинаково со своей серединой».

Некоторые исследователи считают, что в самом предположении Герарда о равенстве средней скорости движения радиуса и скорости движения его средней точки (при вращении) уже содержится доказательство теоремы о средней скорости, которая впоследствии представителями Оксфордской школы была сформулирована следующим образом.

«Равномерно ускоряющееся или замедляющееся движение эквивалентно равномерному движению, происходящему со средней скоростью».

Герард говорит и о неравномерном движении в пространстве. Скорости (круговые пути, описываемые точками вращающегося радиуса) меняются от нулевой (начало радиуса) до максимальной (его конец).

Кинематическое исследование Герарда Брюссельского явилось спустя столетие отправным пунктом для исследований, принадлежащих ученым Мертон-колледжа в Оксфорде. Наибольшая активность мертонцев относится к 1328-1350 гг.

Родоначальником Оксфордской школы был Томас Брадвардин. В «Трактате о пропорциях или о пропорциях скоростей при движении» («Tractatus proportiomim sen proportionibus velocitatum in notibus») Брадвардин критикует мнение Аристотеля, согласно которому скорость v пропорциональна отношению P/R (v ? P/R). При P = R скорость равна единице, в то время как она должна равняться нулю, ибо движение прекращается. По Аристотелю, при постоянном R справедлива пропорция V₁/V₂ = P₁/P₂, а при постоянном Р — пропорция V₁/V₂ = R₁/R₂. Не учитывая указанную выше оговорку Аристотеля, Брадвардин возражает ему, отмечая, что в этом случае при убывании Р до нуля (или возрастании R до бесконечности) скорость также убывает до нуля. Следовательно, любая сколь угодно малая сила P может двигать любое сколь угодно большое тело R, но со скоростью, меньшей в соответствующее число раз. Кроме того, опыт показывает, что два человека могут двигать тело со скоростью, значительно большей, чем двойная скорость, сообщаемая одним человеком.

Брадвардин следующим образом формулирует свой основной закон скоростей: «Отношение скоростей при движениях меняется соответственно отношению движущих сил к силам сопротивления»^{57}.

Закон Брадвардина можно записать в виде

По Аристотелю, скорость удвоится, утроится и т. д. при удвоении, утроении и т. д. отношения P/R.

Брадвардин же считал, что закономерность состоит не в простом удвоении, утроении и т. д., а в образовании составного — двойного, тройного и т. д. — отношения P/R, т. е. (P/R)², (P/R)³ …. Иными словами, скорость изменяется

пропорционально не отношению P/R, а его логарифму. Брадвардин показывает, что при этом устраняется ограничение Аристотеля P > R на возможность возникновения движения. Согласно закону Брадвардина, случай P = R имеет смысл, так как логарифм единицы равен нулю. В «Трактате о континууме», написанном между 1328 и 1335 гг., Брадвардин обращается к понятиям времени и движения. Время он рассматривает как бесконечный, последовательный континуум, который измеряет следование и может быть делим до бесконечности. Движение есть прохождение пространственного континуума во временном: линия может быть проходима с разной скоростью. В то же время, предвидя возможные возражения, Брадвардин проводит различие между «качеством движения», т. е. скоростью, и «количеством движения», т. е. его продолжительностью. Движения могут не различаться по «качеству», но различаться по «количеству» (т. е. по продолжительности или кратковременности).

Закон Брадвардина был с одобрением принят многими, хотя и не всеми учеными XIV в. Подчеркнем, что этот закон содействовал укреплению представления о скорости как об отвлеченном отношении, в определение которого не входит ни понятие времени, ни понятие пути.

Фундаментальные понятия кинематики, такие, как мгновенная скорость и ускорение, появляются в XIV в. в связи с исследованием неравномерного движения. Развитие этих идей связано с новым направлением в науке — учением о «широтах форм» или «конфигурации качеств» (оно называлось также учением «о равномерности и неравномерности интенсивностей» или «об интенсификации и ремиссии качеств»). Истоки этого нового направления были связаны со спорами о логико-философском понятии «формы», восходящими к Аристотелю. Учение о «широтах форм» развивалось и в богословии, где обсуждались вопросы об «интенсификации и ремиссии» благодати, и в математике и механике, в применении к которым это учение содержало прообразы идей функциональной зависимости и ее графического изображения.

Математизация учения «об интенсивности качеств» происходила как в арифметико-алгебраической форме — в том виде, как это делалось учеными Оксфордской школы и в Мертон-колледже XIV в., так и в геометрической форме, как это делали представители Парижской школы. Итальянские ученые XV—XVI вв. сочетали оба эти пути.

Направление Оксфордской школы получило в 30-х годах XIV в. название «учения о калькуляциях», а его авторы — «калькуляторов». «Учение о калькуляциях» разрабатывалось в труде Уильяма Хейтесбери «Правила решения софизмов», в трактате Ричарда Суисета (Суайнсхеда) «О калькуляциях», в работе Джона Дамблтона «Сумма логики и физики».

Представители этого направления движение подразделяли на униформное (равномерное) и дифформное (неравномерное). Униформное движение понималось как такое, при котором в равные времена проходятся равные пути; все остальные движения относятся к дифформным. Понятие «интенсивности качества» применялось к скорости, которая рассматривалась как «интенсивность движения».

Ученые Мертон-колледжа определяли скорость через понятие равного промежутка времени. Существенным моментом здесь является то, что в отличие от Герарда Брюссельского и Брадвардина они ввели в это определение понятие «любой». Так, Суисет приводит следующее определение равномерного движения: «Униформное локальное движение (т. е. движение в пространстве) таково, что в любые равные промежутки времени описываются равные пути».

Хейтесбери дает определение равномерно ускоренного движения как такового, которое, «в любую из равных частей времени приобретает равные приращения скорости».

Мгновенной, или «точечной», скоростью в случае дифформного (неравномерного) движения мертонцы называли скорость, определяемую в любое мгновение по линии, которую прочертила бы наиболее быстро движущаяся точка, если на протяжении времени она стала бы двигаться униформно (равномерно), с тем же градусом скорости, с которым она движется в это мгновение, — какое бы мгновение ни взять.

Ускорение и замедление движения Хейтесбери называл соответственно «интенсивностью» и «ремиссией» «местного движения». Различение ускорения и замедления было связано с тем, что в XIV в. в Европе не располагали понятием отрицательных величин. Общее определение ускорения отсутствовало, но его умели должным образом охарактеризовать в конкретных случаях.

Так, специально рассматривалось униформно-дифформное движение, под которым понималось движение с постоянным ускорением. Согласно Хейтесбери, при униформно ускоренном или замедлендом движении скорость нарастает или уменьшается за равные промежутки времени на равную величину.

Одним из наиболее важных результатов механики была теорема об эквивалентности равномерно ускоренного движения (и вообще изменения) равномерному движению (изменению) со средней скоростью.

Формулировка этой «мертонской теоремы» такова: «Всякое униформно-дифформное изменение, начинающееся с не градуса (нуля), эквивалентно униформному изменению со средним градусом», т. е. в ускоренном движении, начинающемся из состояния покоя, пройденное расстояние s равно vt/2, где v — скорость в рассматриваемый момент времени.

Различные доказательства этой теоремы содержатся в упомянутых трактатах Хейтесбери, Суисета, Дамблтона и относятся к 1330—1340 гг.

Доказательство Хейтесбери начинается следующим утверждением: «Каждое приращение скорости, униформно приобретаемое или теряемое, отвечает средней скорости. Это предполагает, что движущееся тело униформно приобретает или теряет такие приращения, что за данное время проходит расстояния, в точности равные тем, которые оно прошло бы, двигаясь в то же время со средней скоростью». Это утверждение доказывается с помощью рассмотрения симметричных приращений и «потерь» скорости над ее «средним градусом». В своем доказательстве Хейтесбери исходит из свойства непрерывной пропорции a : b = b : c = (a – b) : (b –c) и применяет его к делению на «пропорциональные части» в отношении 2:1; так как первая «пропорциональная часть» равна сумме всех последующих, то разность между первым и вторым членами равна сумме всех последующих разностей. Поэтому, если взять в униформно-дифформной широте «градусы», убывающие в пропорции 2:1, то разность между высшим и средним (вдвое меньшим) «градусами» будет равна сумме разностей («широт») менаду средним «градусом» и «не градусом», т. е. ¹/₂ = ¹/₄ + ¹/₈ + ¹/₁₆ + … Далее Хейтесбери замечает, что аналогично можно доказать эквивалентность униформно возрастающей «широты» движения среднему «градусу». Таким образом он приходит к следствию, что тело, двигаясь равномерно замедленно со скоростью, убывающей до нуля, проходит в первую половину времени втрое большее расстояние, чем во вторую, т. е. что при униформном убывании «градусов движения» (т. е. скоростей) на первую половину времени приходится расстояние, втрое большее, чем на вторую.

Суисет приводит четыре различных доказательства этой теоремы, которую он формулирует следующим образом: «Всякая широта движения, униформно приобретаемая или теряемая, соответствует своему среднему градусу… так что столько же в точности будет пройдено благодаря этой так приобретаемой широте, сколько и благодаря ее среднему градусу, если бы тело двигалось все время с этим средним градусом».

Наиболее интересное из них — третье доказательство, которое проводится с помощью суммирования двух бесконечных рядов. Суисет исходит из деления интервала времени на «пропорциональные части» t, t/2_r t/4, t/8, …, t/2^n-1. В любой момент первой «пропорциональной части» времени тело будет двигаться вдвое быстрее, чем в соответствующий момент второй «пропорциональной части», и т. д. Поскольку первая «пропорциональная часть» времени вдвое больше, чем вторая, то тело пройдет за первую часть вчетверо большее расстояние, чем за вторую, за вторую — вчетверо большее, чем за третью, и т. д.

К задаче суммирования ряда Суисет сводит и примеры движений, в которых скорость меняется скачкообразно.

Представителю геометрического направления в науке XIV в. — Н. Орему (1323—1382) — принадлежит сохранившийся в многочисленных списках (и под различными заголовками) трактат «О конфигурации качеств», написанный в 1371 г.

Орем представлял «интенсивность качества», сосредоточенного в одной точке, в виде отрезка прямой линии. «Качества» могут быть линейными, когда они распределены по различным точкам математического объекта в одном измерении, плоскостными (два измерения) и объемными (три измерения). «Интенсивности» он предлагал изображать линиями, проведенными из точек прямой, характеризующей «экстенсивность». В современной терминологии «экстенсивность качества» соответствует абсциссе, «интенсивность» — ординате. Отрезки линий «интенсивности» Орем называл «широтами» (latitudo) «качеств» или «форм», а отрезки, в концах которых «широты» прилагаются, — «долготами» (longitudo). Длины «широт» пропорциональны «интенсивностям». Таким образом, зависимость между «интенсивностью» и «экстенсивностью» изображалась в виде плоской фигуры, ограниченной сверху некоторой кривой.

Постоянная «интенсивность» соответствует «униформному качеству», которое изображается четырехугольником. «Униформно-дифформному качеству» соответствует треугольник (если это «качество» в начальной или конечной точке равно «не градусу», т. е. нулю) или четырехугольник с двумя непараллельными сторонами. Эту геометрическую интерпретацию Орем применяет для разъяснения кинематических понятий. В этом случае время рассматривается как «экстенсивность», а скорость — как «интенсивность» движения. Понятие ускорения (velocitatio) Орем вводит как «интенсивность» скорости, а затем переходит к рассмотрению различных случаев как постоянного, так и переменного ускорения. Орем пользовался и понятием мгновенной скорости, которую называл точечной (velocitas punctualis).

Доказательство мертонской теоремы у Орема начинается со следующего утверждения: «О скорости следует сказать то же, что о линейном качестве, с той разницей, что вместо средней точки берут среднее мгновение времени, измеряющего скорость движения».

Однако Орем еще не дает самого определения средней, или, как он называл, «суммарной скорости» (velocitas totalis) и нигде прямо не говорит, что площадь рассматриваемой фигуры соответствует пройденному расстоянию, хотя такое понимание лежит в основе его рассуждений. Более четкое установление связи между пройденным расстоянием и площадью фигуры, ординаты которой соответствуют мгновенным скоростям, требовало аппарата бесконечно малых.

Стремление к полной геометризации проблемы помогло Орему в значительной мере избавиться от схоластического стиля Мертонской школы, но вынудило его оставить в стороне ряд тонких вопросов, которые эта школа разрабатывала. Возможно, поэтому в XV—XVI вв. произведения оксфордцев в странах Западной Европы (особенно в Италии) привлекали больше внимания, чем сочинения Орема.

Проникновение теории «широт форм» в Италию началось еще в середине XIV в. Трактат Джованни Казале (около 1355 г.), содержащий доказательство теоремы о средней скорости, — одно из наиболее ранних свидетельств влияния оремовской трактовки этой теории. «Униформно-дифформное качество» он представлял в виде прямоугольного треугольника, эквивалентного «прямолинейному качеству» (т. е. «униформному»). В то же время в основных вопросах он опирался на труды представителей Оксфордской школы, в частности Суисета.

В последнем десятилетии XIV в. появились два трактата о «широтах форм» Биаджо из Пармы: «О движении» и «Об интенсификации и ремиссии форм», написанные под влиянием сочинений «калькуляторов» (например, в доказательстве теоремы о средней скорости рассматривается симметричное возрастание и убывание скорости). В третьем его сочинении — «Вопросы к трактату о широте форм» — заметно влияние Парижской школы.

Казале и Биаджо не единственные проводники влияния Оксфордской и Парижской школ в Италии. Это влияние сказалось на направлении научной деятельности представителей Падуанской школы. В этой связи следует упомянуть сочинения Паоло Венецианского и комментарий Анджело да Фассамбруно к одному из трактатов Хейтесбери.

В середине XV в. (1460) Джованни Марлиани написал комментарий к «Калькулятору» Суисета, а также специальный трактат, в котором дает собственное доказательство основной мертонской теоремы и соображений Суисета о расстояниях, проходимых за «пропорциональные части» в униформно-дифформном движении. Этот результат никто в то время не ставил в связь с проблемой падения тяжелых тел, хотя во второй половине XIV в. учение о «широтах форм» преподавалось в разных странах Европы. Так, для нужд преподавания был составлен трактат «О широтах форм», который иногда неправильно приписывается самому Орему.

До конца XV в. в Италии печатались произведения «калькуляторов», но уже к началу XV в. учение о «широтах форм» перестало развиваться. Причиной этому было, с одной стороны, отсутствие непосредственного контакта с технической традицией естествознания, а с другой — недостаточность математического аппарата. Учение о «широтах форм» осталось не давшим плодов достижением вполне средневековой по своему духу, методам и стремлениям науки, несмотря на то, что содержало ряд моментов, получивших развитие в математике переменных величин и на начальных этапах развития классической механики. «Калькуляторы» были на подступах и к механике Галилея, и к геометрии Декарта и Ферма, и к теории неделимых Кавальери. Учение о «широтах форм» было известно до XVI —начала XVII в., но нет никаких определенных данных о его влиянии в эту эпоху. Можно подметить сходство некоторых положений Галилея и Декарта с положениями авторов XIV в. Однако, с другой стороны, Галилей, например, никогда не упоминает своих «предшественников». Это говорит о том, что, несмотря на знакомство со средневековой литературой, творцы новой механики исходили в своих исследованиях из конкретных запросов бурно развивающихся естествознания и техники, опираясь главным образом на классиков древности, особенно Архимеда, как об этом упоминает и сам Галилей.

Как попытка ответа на вопрос о механизме передачи движения в средневековой Европе появилась теория «импетуса» («импетус» нельзя отождествлять с каким-либо современным термином, но в некоторых случаях его можно считать эквивалентным импульсу).

К XIII в. относится начало формирования понятий, на основе которых впоследствии была создана эта теория. У многих авторов этого периода встречаются соображения об «импульсе», движущей силе и даже само выражение «импетус». Так, Фома Аквинский говорит о силе движущегося, которая сохраняется в брошенном теле, об «импульсе», который передается от бросающего к брошенному телу и позволяет ему сохранять определенное направление на пути к цели. В конце XIII в. Петр Иоанн Оливи представлял механизм передачи движения таким образом, что движущее тело сообщает движущемуся телу «запечатляющуюся в нем силу» как некое качество, которое он определял как «устремление к конечной цели движения».

В начале XIV в. проблемой движения брошенных тел занимался Франческо ди Маркиа, который, комментируя Аристотеля, считал, что некая «сила», или «способность», сообщается как среде, так и самому брошенному телу и сохраняется в нем некоторое время в зависимости от «меры» этой силы.

Однако впервые строго сформулирована теория «импетуса» была парижским номиналистом Жаном Буриданом (ум. в 1358 г.) в «Вопросах к физике Аристотеля», написанных после 1328 г., и в «Вопросах к сочинению Аристотеля «О небе», написанных около 1340 г.

В Париже теорию Буридана развивали Никола Орем, Альберт Саксонский и Марсилиус ван Инген. Благодаря двум последним она позже получила распространение в Германии и Австрии. В Италии ее разрабатывали Биаджо из Пармы и Паоло Венецианский, который отмечал, что эта теория поддерживалась большинством современных ему ученых. Наибольшее применение она имела для изучения движения брошенного тела и свободного падения тела.

Импетусом Буридан называет некую силу, которая исходит от движущегося и запечатлевается в движимом теле. Величина импетуса определяется как скоростью, сообщенной движимому телу, так и его «количеством материи» (т. е. массой). «Количество материи» является «мерой импетуса» в теле. В этом состоит причина того, что «труднее остановить большое быстро движущееся колесо мастера, чем маленькое»^{58}. Исчезновению импетуса способствует, во-первых, сопротивление среды, а во-вторых, его «устремление к другому месту», если тело брошено не по вертикали вниз. Буридан утверждал, что «импетус продолжался бы до бесконечности, если бы не уменьшался и не разрушался от противоположности, оказывающей сопротивление, или еще от чего-либо, склоняющего к противоположному движению»^{59}. «Движущее, приводя в движение движимое, запечатлевает некий импетус, — говорит Буридан, — т. е. некоторую силу, способную двигать это тело в ту сторону, в которую движущее его двигало: вверх, вниз, в сторону или по кругу»^{60}.

Таким образом, он говорит об импетусе и как о «движущей силе», и как о причине продолжения движения. Буридан считал импетус постоянным качеством движущегося тела. Он запечатлен в этом теле таким образом, как магнитные свойства запечатлены в железе. Как постоянное качество импетус растрачивается не сам по себе, а только вследствие сопротивления среды или «противоположного сопротивления» тела.

Почти все сторонники теории импетуса приводили в пример движение точильного камня и волчка, которое нельзя было объяснить с помощью аристотелевской концепции промежуточной среды.

Буридан объяснял отскакивание шарика от земли по аналогии с отражением света, говоря, что начальный импетус сжимает его, когда он стукается об землю, а затем возникает новый импетус, благодаря которому он подпрыгивает вверх. Объясняя сохранение движения наличием некоторого запечатленного в теле качества, Буридан и сторонники его теории фактически не выходили за пределы концепции Аристотеля, которая гласит, что всякое движение нуждается в «движущей силе». Поэтому вряд ли правы те, кто считает теорию «импетуса» предвосхищением закона инерции, имея в виду некоторое сходство между количественным определением импетуса у Буридана и определением импетуса, или момента, у Галилея. Если Буридан и говорит о сохранении импетуса и сохранении движения неизменным, он относит это как к прямолинейному, так и к вращательному движению. Сторонники теории импетуса не проводили никакого различия между прямолинейным и круговым импетусом. Они считали одинаково возможным в любых случаях вводить и тот и другой.

Исторически теория импетуса скорее была заключительным этапом развития теоретических построений, связанных с критикой аристотелизма, чем началом новой линии развития, связанной со становлением классической механики. Она не привела, да и не могла привести, к установлению понятия инерции движения, хотя и содержала некоторые зачатки идеи самодвижения.

Значение теории импетуса состояло, во-первых, в ее приложении к движению небесных тел. При объяснении движения небесных тел с помощью этой теории отпадала необходимость во введении нематериальных так называемых «интеллигенции», или «ангелов», постоянно его поддерживающих. Нематериальному, божественному вмешательству предоставлялась только скромная роль сообщения первоначального импетуса; дальнейшее движение не требовало его участия.

«Бог в момент творения, — говорит Буридан, — сообщил небесам столько же и такие движения, какие существуют и сейчас, и, приводя их в движение, запечатлел в них импетусы, благодаря которым они затем двигаются равномерно, поскольку эти импетусы, не встречая сопротивления, никогда не уничтожаются и не уменьшаются». Согласно Орему, бог, создавая небеса, «наделил их качествами и движущими силами так же, как земные тела наделил тяжестью; и наделил их сопротивлениями этим движущим силам… Бог предоставил небесам двигаться непрерывно и в соответствии с пропорциями между движущими силами и сопротивлениями, в соответствии с установленным порядком»^{61}.

Николай Кузанский сравнивает движение небесной сферы с движением шара. «Ведь эта сфера не движется богом-создателем и пе духом божиим, так же как и шар не движется тобою, когда ты видишь его катящимся, и не твоим духом, хотя ты и привел его в движение, совершая бросок рукой, своей волей сообщая ему импетус, и пока сохраняется этот импетус, движется и шар»^{62}.

Теория импетуса, таким образом, объединяла движения земных и небесных тел в единую систему, подчиняющуюся общим законам механики. Кроме того, теория импетуса до известной степени освобождала учение о движении от понятия цели, так как в некоторых случаях при рассмотрении «насильственного» движения она не нуждалась в представлении о стремлении к «естественному месту». Но самое главное то, что, отрицая необходимость посредствующей материальной среды при «насильственном движении», она позволяла ставить вопрос о возможности отвергаемого Аристотелем движения в пустоте.

Буридану была хорошо известна теория Авемпаса, который (употребляя вместо скорости и плотности обратные им понятия «медленности» и «тонкости») пришел к выводу о том, что движение в пустоте происходит не мгновенно, а в течение некоторого времени. Сторонники теории импетуса, возражая Аристотелю и следуя за Филопоном, считали, что движение в пустоте возможно и происходит с различной скоростью. Они различали два вида скоростей: существенную и акцидентальную. Первая характеризует движение самого тела, а вторая обусловлена сопротивлением среды. Первая сохраняется при движении тела в пустоте, вторая исчезает. В пустоте тела падают с различной скоростью, сохраняя силу «тяжести» и силу импетуса. Вместо сопротивления среды сторонники теории импетуса вводили сопротивление, возникающее вследствие наличия расстояния между начальной и конечной точками движения, которое является причиной ограничения скорости. Буридан считал, что конечная величина скорости определяется конечной величиной «движущей силы».

Но хотя сторонники теории «импетуса» не смогли подойти к понятию об одинаковой скорости падения тел в пустоте, значительный интерес представляет количественный подход к исследованию этого явления и попытки его формального описания в их сочинениях.

Обращаясь к изучению падения тел, средневековые ученые Западной Европы ставили перед собой два вопроса: какова причина ускорения тел при падении? каким образом описать это ускорение кинематически?

Выше мы рассмотрели приемы кинематического описания равномерно ускоренного движения, однако это не распространялось на изучение свободного падения тела. Филопон, говоря о падении тел в воздухе, критиковал положение Аристотеля об обратной пропорциональности скоростей падения л «тяжестей». Если с одной и той же высоты падают две «тяжести», значительно отличающиеся друг от друга, то отношение между скоростями будет меньше, чем отношение между «тяжестями».

Эта проблема была предметом обсуждения предшественников западных номиналистов — ученых средневекового Востока, в частности упомянутых выше Ибн-Сины и ал-Богдади. Под влиянием учения Филопона они разработали теорию «запечатленной силы» и «устремления». Согласно их представлениям, когда тело начинает падать, оно получает некое «насильственное устремление». Это постоянное «насильственное устремление» противопоставлялось «естественному устремлению», которое управляет движением тела вниз. Хотя «насильственное устремление» постепенно ослабляется, оно в процессе движения тела, в особенности в начальный момент, замедляет свободное падение.

Но существует постоянная причина ускорения. Как только тело выведено из своего «естественного места», его «тяжесть» начинает «запечатлевать» в нем «естественное устремление». В течение всего времени движения это «естественное устремление» все больше и больше проникает в падающее тело, а по мере возрастания «устремления» возрастает его скорость. Аналогичное представление о двух силах, с которыми связано свободное падение тела, мы встречаем в XIII в. у Роджера Бэкона. Одна из этих сил определяется «естественной тяжестью», в то время как другая становится все более и более эффективной по мере приближения тяжелого тела к своему «естественному месту», т. е. тело движется тем быстрее и скорость падения его тем больше, чем ближе оно к «естественному месту» (это утверждение восходит еще к Аристотелю).

Бэкон ставил далее вопрос о характере этой второй силы. Не может ли «естественное место» действовать на тяжелое тело подобно тому, как действует магнит на железо? Но, возражал Бэкон, железо будет притягиваться магнитом, если находится от него на определенном расстоянии, в то время как тяжелое тело стремится к центру Земли «по собственной природе» с любого расстояния.