НЕЕВКЛИДОВА МЕХАНИКА

We use cookies. Read the Privacy and Cookie Policy

НЕЕВКЛИДОВА МЕХАНИКА

Неевклидова механика, т. е. классическая механика в неевклидовом пространстве, и прежде всего в пространстве Лобачевского, возникла в конце 60-х годов XIX в., когда идеи Лобачевского начали получать признание математиков.

Основным стимулом развития неевклидовой механики послужило желание выяснить, не противоречит ли неевклидова геометрия принципам классической механики. В случае такого противоречия можно было бы сделать вывод, что в реальном мире имеет место евклидова, а не неевклидова геометрия.

Мысль о развитии неевклидовой механики с этой целью была высказана еще самим Н.И. Лобачевским в его основополагающем труде «О началах геометрии» (1829— 1830). Называя открытую им новую систему «воображаемой геометрией», Лобачевский писал:

«Оставалось бы исследовать, какого рода перемена произойдет от введения воображаемой Геометрии в Механику и не встретится ли здесь принятых уже и несомнительных понятий о природе вещей, но которые принудят нас ограничивать или совсем не допускать зависимости линий от углов»{219}.

В 1869—1870 гг. работы по неевклидовой механике появились в следующих странах: в Италии — Анджело Дженокки (1817—1889); в Германии — Эрнест Шеринг (1833—1897), в Бельгии — Жозеф де Тийи (1837— 1906). Если Дженокки и Шеринг задавали силы точками приложения и величинами, то де Тийи в своих «Этюдах по абстрактной механике» впервые изображал силы в неевклидовом пространстве ориентированными отрезками.

В России исследования по неевклидовой механике начались в 90-х годах XIX в. Первой работой была статья П.С. Юшкевича (1873—1945) «О сложении сил в гиперболическом пространстве»{220}, написанная в 1892, опубликованная в 1898 г. П. С. Юшкевич рассматривал силы в пространстве Лобачевского, причем, следуя де Тийи, изображал их ориентированными отрезками. В работе определяется сложение сил, когда они направлены по пересекающимся прямым, и в тех случаях, когда они направлены по параллельным и расходящимся прямым.

В широком плане предпринял разработку неевклидовой механики Александр Петрович Котельников (1865—1944). Он родился, вырос и сложился как ученый на родине геометрии Лобачевского — в Казани. Его отец П.И. Котельников (1809—1879) работал в Казанском университете вместе с Н.И. Лобачевским и был единственным из его коллег, который публично выступил при жизни Лобачевского с высокой оценкой его геометрического открытия. В 1884 г. А.П. Котельников окончил Казанский университет, где его учителями были известные математики А.В. Васильев (1853—1929), Ф.М. Суворов (1845—1911) и механики И.С. Громека (1851—1889) и Г.Н. Шебуев (1850—1900). После окончания университета А.П. Котельников работал учителем математики в одной из гимназий г. Казани, а затем был принят на кафедру механики Казанского университета для подготовки к профессорскому званию. С 1893 г. он начинает свою преподавательскую деятельность в Казанском университете и в 1806 г. защищает магистерскую диссертацию «Винтовое исчисление и некоторые применения его К геометрии и механике».

Винтовое исчисление А.П. Котельникова — обобщение векторного исчисления; оно описывает силовые винты статики и винтовые перемещения кинематики. Заметим, что в конце XIX в. векторные методы в механике все еще оставались новинкой.

В 1899 г. А.П. Котельников защитил диссертацию «Проективная теория векторов», за которую получил сразу две ученые степени — доктора чистой математики и доктора прикладной математики. Эта работа имеет большое значение в развитии неевклидовой механики. Котельников дал определение и метод сложения векторов, пригодных для всех неевклидовых пространств, определил эквивалентность систем векторов, показал, что всякая система векторов эквивалентна «канонической системе», состоящей из двух векторов, направленных по двум взаимно полярным прямым, и, нашел необходимое и достаточное условие эквивалентности двух систем векторов. Последнее условие состоит в равенстве определяемых системами векторов величин особого рода «винтов» («моторов», «динам»), тесно связанных с комплексными числами различного вида. Котельников глубоко разработал алгебру винтов, аналогичную векторной алгебре, и ее применения к геометрии, в особенности линейчатой геометрии, и механике (теория винтовых интегралов). Уже в советское время А.П. Котельников дал изящное изложение своих идей в статье «Теория векторов и комплексные числа» (опубликована посмертно в 1950 г.). Из работ А.П. Котельникова помимо диссертаций особо следует отметить статью «Принцип относительности и геометрия Лобачевского», посвященную связям между физикой и геометрией, и «Теория векторов и комплексные числа»{221}, в которой снова рассматриваются обобщения векторного исчисления и вопросы неевклидовой механики.

В 1927 г. казанский геометр П.А. Широков (1895— 1944), находящийся под сильным влиянием А.П. Котельникова, дал весьма наглядную геометрическую конструкцию действий над векторами в неевклидовых пространствах. Эта конструкция была предложена им в работе «Преобразование винтовых интегралов в пространствах постоянной кривизны». Широков был автором еще нескольких работ по неевклидовой механике. В частности, вопросам связи между физикой и неевклидовой геометрией в несколько другом аспекте, чем работы Котельникова по неевклидовой механике, посвящена работа Широкова «Принцип относительности и геометрия Лобачевского». В этой работе получили развитие идеи известной работы Германа Минковского (1864—1909) «Время и пространство»{222}, в которой была дана геометрическая интерпретация пространства—времени специальной теории относительности Эйнштейна.

К работам Котельникова непосредственно примыкают исследования Д.Н. Зейлигера (1864—1936), впоследствии объединенные в книге «Комплексная линейчатая геометрия»{223}. Зейлигер работал сначала в Одессе, а затем в Казани вместе с Котельниковым. Еще до приезда в Казань Зейлигер был известным механиком, одним из основоположников механики подобно изменяемого тела. Однако под влиянием Котельникова Зейлигер изменил тематику своих работ и последние десятилетия жизни занимался только развитием идей Котельникова, главным образом в их применении к геометрии.

Почти одновременно с Котельниковым, но в другом направлении вопросами неевклидовой механики заинтересовался Н.Е. Жуковский, посвятивший в 1902 г. этому вопросу работу «О движении материальной псевдосферической фигуры по поверхности псевдосферы»{224}, однако большинство исследований по неевклидовой механике, произведенных в России, было посвящено развитию идей Котельникова.