САМООРГАНИЗУЮЩИЙСЯ РЫНОК

Несмотря на скептицизм, с которым экономисты встретили лог-пе- риодическую модель финансовых потрясений, общая идея о сходстве динамики рынка с поведение систем вблизи критической точки приобрела многочисленных сторонников, что представляется естественным. В предыдущей главе приводились примеры негауссовского поведения показателей в экономической статистике, при котором флуктуации являлись (или по крайней мере выглядели на коротких промежутках времени) безмасш- табными — наблюдались отклонения любого размера. По законам статистики такие «толстые» хвосты функций распределения соответствовали степенному закону и являлись характеристической особенностью именно критических переходов.

Степенной закон определяет вероятность проявления флуктуаций определенного размера, а его связь с критическими переходами можно пояснить на следующем примере. Вернемся к приведенному на рис. 8.2, а стандартному графику колебаний биржевого курса и рассмотрим его более внимательно, тщательно оценивая величину отклонений. Естественно, что мы будет получать некоторые колебания курса относительно среднего значения, а очень большие выбросы на кривой должны быть сравнительно редкими. Построив график зависимости относительного числа флуктуаций от их размера, мы должны получить некую степенную функцию для уменьшения вероятности очень больших отклонений.

А теперь вспомним, что параметры физических систем в окрестности критических точек становятся сверхчувствительными, т.е. под воздействием ничтожных причин могут меняться весьма значительно. Аналогия состоит в том, что рынок в неустойчивой ситуации напоминает критическое состояние физической системы, т.е. тоже приобретает способность неожиданно и сильно дергаться в разные стороны под воздействием ничтожных по величине случайных факторов. С другой стороны, известно, что физическая система в критическом состоянии исключительно неустойчива и почти сразу катастрофическим образом «сваливается» (на жаргоне физиков) в какое-либо устойчивое состояние. Приняв предположение об аналогии рынка с критической системой, ученым еще предстояло объяснить возможность достаточно длительного существования рынка в неустойчивом состоянии.

В 1987 году группа американских физиков, работавших в Брукхейвенской национальной лаборатории (Лонг-Айленд), случайно открыла исключительно интересное свойство некоторых физических систем, получившее название самоорганизующейся критичности. Этот поразивший физиков эффект состоял в том, что некоторые системы проявляют способность к постоянному преобразованию самих себя в критическое состояние. Забавно, что исследователи этой группы (Пер Бак, Чао Танг и Курт Визенфельд) вообще не занимались изучением критических точек, а ставили своей целью только выработку поправок к одной из старых моделей в физике твердого тела. Дело в том, что физики уже давно не могли найти ответ на кажущийся очень простым и незначительным вопрос: почему электроны в кристалле иногда двигаются в виде серии волн, получивших название волн зарядовой плотности. В этих редких случаях электроны вдруг демонстрировали так называемое коррелированное движение, т.е. переставали двигаться независимо друг друга (что обычно и наблюдается для электронов в металле), а наоборот — вели себя подобно связанным или сильно взаимодействующим частицам.

Попытка объяснения такого поведения электронов заставила исследователей гораздо шире взглянуть на все проблемы, связанные с системами из большого числа взаимодействующих частиц. В качестве грубой модели волн зарядовой плотности они предложили простую систему из множества качающихся маятников, соединенных дополнительно пружинками. Интересно, что такой подход удачно иллюстрирует методы теоретической физики вообще, так как хотя критические системы, финансовые рынки и сложно связанные маятники совершенно не похожи друг на друга, но математически они описываются очень похожими уравнениями, точно так же, как отдельный маятник является отличной моделью для любого периодического процесса.

Когда же исследователи написали полную систему ньютоновских уравнений движений для этой модели и решили ее на компьютере, они обнаружили удивительные факты. Колебания одного маятника, конечно, заставляли колебаться и несколько других (вследствие упомянутой связи через пружинки), однако такое взаимодействие было естественно ограничено некоторой областью, но затем на каком-то уровне взаимодействия картина существенно менялась, вследствие чего колебания отдельного маятника вдруг начинали воздействовать на всю систему в целом. При очень слабых взаимодействиях в системе один маятник, конечно, не мог заставить колебаться даже ближайшие к нему маятники, но в некоторых ситуациях колебания отдельного маятника вдруг вызывали «лавину», заставляя двигаться всю систему, независимо от ее размеров. Построив зависимость размеров лавин от частоты их возникновения, Бак и его коллеги обнаружили степенной закон распределения, доказательством чего служит прямая линия в логарифмических координатах (рис. 10.3).

Рис. 10.3. Степенной закон распределения вероятностей для размера лавин в математической модели «кучи песка». Построив зависимость в логарифмических координатах (логарифм размера лавин от логарифма их вероятности), можно легко получить наглядное доказательство степенной зависимости: прямую на рисунке, угол наклона которой равен показателю степенной зависимости. В представленном случае этот показатель близок к -1, что характерно для процессов с самоорганизующейся критичностью. Крупномасштабные события, соответствующие правой части графика, являются менее вероятными, поэтому статистика для них менее достоверна, и на графике появляются все более заметные зигзаги. Теоретическая идеальная прямая показана пунктиром.

Позднее та же команда физиков из Брукхейвена придумала еще одну красивую и интуитивно понятную модель связанного поведения в много- частичных системах. Им удалось заменить в уравнениях не очень наглядные маятники и пружинки на песчинки, составляющие некую кучу или горку (читатель может представить себе кучку песка, возникающую в песочных часах, или ту, которую он сам насыпает на столе). При некоторой высоте кучки, когда ее склоны становятся достаточно крутыми, добавление даже нескольких песчинок к вершине может вызвать осыпание всей кучки. До этого момента силы трения между песчинками могут удерживать частицы от взаимного смещения, но при некотором строго определенном значении угла наклона склонов (этот угол определяется, естественно, коэффициентом трения) вся система становится неустойчивой. Разумеется, дальнейший процесс более сложней и напоминает механизм цепной реакции, так как каждая частица в своем движении смещает другие и т. д. В зависимости от параметров и условий модели в такие лавины могут быть вовлечены десятки частиц, струи песчинок и целые участки кучек песка.

Существенным для темы этой главы является то, что в модели образования лавины не указаны конкретные следствия добавления конкретной песчинки — воздействие на соседние песчинки, начало процесса схода лавины на одном из склонов и т.д. Авторы предложили простую математическую модель кучи песчинок, исследовали ее поведение на ЭВМ и, замерив распределение песчаных лавин по размерам, показали, что оно описывается степенным законом, как показано на рис. 10.3. Очень большие лавины, конечно, происходят значительно реже, чем малые, однако теоретически возможно образование лавин любого размера. Другими словами, флуктуации кучи являются безмасштабными (в указанном смысле), что явно представляет собой некий аналог критического состояния.

С физической точки зрения ясно, что каждая лавина высвобождает внутренние «напряжения» в куче, уменьшая угол наклона и восстанавливая устойчивость системы. Особенностью модели является то, что восстанавливается только локальная устойчивость в заданный момент времени, так как любая следующая песчинка может стать триггером, спусковым механизмом для другой лавины на другом участке кучи. Такая система постоянно балансирует на грани очень шаткого равновесия, готового нарушиться в любой следующий момент, но не может уйти от этой грани на далекое расстояние. Именно поэтому физики назвали это критическое состояние самоорганизующимся, что принципиально отличает его от описанного ранее критического состояния газа и жидкости, которое можно было бы назвать самоуничтожающимся, поскольку оно подготавливает систему к мгновенному переходу при малейшем воздействии в одно из обычных, устойчивых состояний.

Модель песчаной кучи описывает неравновесное, но стационарное состояние. Неравновесность означает, что система постоянно меняется (хотя бы в силу изменения числа частиц, непрерывно добавляемых в систему), а стационарность — то, что система может оставаться в этом состоянии сколь угодно долго. Система не может вообще рассматриваться даже в качестве стремящейся к равновесию, так как постоянное падение песчинок на вершину кучи выступает в качестве внешней возмущающей силы. Описываемая самоорганизующаяся критичность является свойством именно этого класса неравновесных систем.

Обнаружение этого свойства стало одним из важнейших открытий статистической физики за последние два десятилетия, а его изучение уже привело к многим очень интересным и важным результатам. Тщательно изучая статистические данные, команда Пера Бака выявила степенной закон распределения вероятностей (основной признак существования самоорганизующейся критичности) в разнообразных природных явлениях. Возьмем в качестве примера землетрясения. Еще в 1940-х годах сейсмологи Бено Гутенберг и Чарльз Рихтер из Калифорнийского технологического института, изучив каталоги землетрясений в мировом масштабе и построив соответствующие графики, вдруг обнаружили степенной закон распределения их мощности. Долгие годы этому странному факту не удавалось найти никакого объяснения, пока к этим статистическим данным не был применен подход, основанный на самоорганизующейся критичности. Ситуация напоминает описанную модель, так как движения земной коры постоянно создают напряжения между тектоническими плитами. Время от времени это напряжение разряжается в виде землетрясений, приводящих к установлению временного и локального равновесия, однако затем напряжения начинают нарастать вновь. Обычно такие колебания имеют небольшой размах или даже сводятся к мелким толчкам, но иногда, как и полагается по модели, они могут «накапливаться», вследствие чего происходят чрезвычайно мощные тектонические сдвиги, приводящие к катастрофическим землетрясениям (Лос-Анджелес, Токио и т.п.).

Бак и его коллеги уловили признаки самоорганизующейся критичности даже в динамике развития лесных пожаров. Известно, что от таких пожаров страдают многие страны и обширные регионы, причем в большинстве случаев они носят лишь локальный характер, но изредка принимают гигантские масштабы и уничтожают целые лесные массивы. Как считает сам Бак, «отпечатки пальцев» самоорганизующейся критичности в виде степенного закона распределения флуктуаций можно обнаружить во множестве природных явлений различной природы, от вулканической активности и вспышек на Солнце до малопонятных астрономических событий, происходящих в нейтронных звездах, или распределения числа биологических видов в древних отложениях.

Речь идет об очень важном и распространенном природном эффекте. По странной иронии судьбы, позднее выяснилось, что именно поведение реальных песчаных куч, дюн или холмов, строго говоря, нельзя отнести к этому классу явлений. Описанный выше эксперимент прост только с модельной точки зрешкі, а его реальная проверка и осуществление сопряжены с техническими сложностями, поэтому, когда ученые, воодушевленные успехами теории, попытались измерить распределения лавин в реальных песчаных дюнах, их ждало разочарование. Многочисленные эксперименты приводили к противоречивым результатам, что, впрочем, может означать лишь то, что Бак, Танг и Визенфельд в своем математическом, компьютерном эксперименте упустили какие-то важные специфические особенности поведения именно песчаных куч, например, процессы диссипации энергии при движении песчинок. Настоящие процессы ставшей знаменитой самоорганизующейся критичности (СОК) в сыпучих средах оказались весьма капризными, так что исследователям почти никогда не удается обнаружить их в песке, но интересно, что СОК наблюдается в некоторых случаях в кучах риса Возможно, это объясняется просто иной формой зерен.

Открытие СОК в разных неравновесных системах первое время вызывало такой восторг, что многие стали считать этот эффект, по словам Бака, «ключом к пониманию действий природы». Позднее проявилась и некоторая ограниченность этой модели, не позволяющая считать СОК универсальным законом природы, однако основные положения модели (степенной закон распределения флуктуаций и катастрофические события, снимающие «напряженность» на границах нестабильности) стали весьма важным и ценным инструментом в изучении неравновесных явлений, поэтому читателя не должно удивлять, что некоторые закономерности СОК проявляются и в социальных моделях, учитывающих взаимодействие людей.