ПОИСКИ ПУТЕЙ В ДОЛИНАХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ

На последний вопрос политолог Роберт Аксельрод из Мичиганского университета отвечает утвердительно, так как он и его коллеги разработали математическую теорию на этот счет. Впрочем, справедливости ради отметим, что так называемую теорию ландшафта решений авторы получили почти в готовом виде из статистической физики. В этой модели, основанной на теории игр, фирмы ведут себя подобно частицам газа вблизи точки конденсации, когда силы притяжения между ними почти равны силам отталкивания. В этих условиях агенты, ведущие себя подобно частицам, начинают образовывать союзы — агрегироваться.

Конденсация частиц в дискретные кластеры является одним из наиболее известных и распространенных процессов в физике, именно так формируются капли дождя или изысканные по форме снежинки. Кластеры могут образовываться также и при резкой «закалке» гомогенной смеси двух различных жидкостей, т.е. при быстром охлаждении жидкости до температуры, когда ее компоненты не моіут больше оставаться в смешанном состоянии и должны разделиться. Это часто встречается в металлургии, когда в расплаве из двух металлов при охлаждении начинают выделяться маленькие крупинки чистого металла. В идеале конечным состоянием системы из разнородных металлических атомов, отвечающим минимуму энергии, должно быть полное разделение металлов, подобно тому как при длительном стоянии в холодильнике разделяются слои уксуса и масла в салатном соусе. Но на практике обычно за счет быстрого охлаждения частички одного металла не объединяются и остаются равномерно перемешанными с такими же частичками другого металла.

Очень часто рост таких кластеров является самоускоряющимся: чем они крупнее, тем быстрее растут, что физически объясняется увеличением их поверхности, позволяющей захватывать все большее количество других частиц. Более мелкие кластеры при этом исчезают, точнее, поглощаются крупными. Физики называют это явление созреванием по Оствальду[106]. Это, если угодно, имеет полную аналогию в обычной жизни: богатые богатеют, бедные беднеют. В мире бизнеса это может служить метафорой процессов поглощения и глобализации.

Картина слияния физических кластеров напоминает процессы деловых объединений, когда фирмы естественным образом стремятся входить в коалиции, усиливающие их роль и возможности. Но при этом действуют и иные факторы. Фундаментальным принципом является незаключение союза с прямыми конкурентами, всяческое противодействие им и попытка вытеснения с рынка. Сомнительные действия компании «Microsoft» с целью монополизации рынка персональных компьютеров в конце 1990-х годов прекрасно иллюстрируют этот жестокий дарвиновский закон бизнеса. Побуждаемые необходимостью фирмы могут вступать в соглашения, чтобы препятствовать таким односторонним поглощениям.

С одной стороны, понятно, что размер фирмы является одним из факторов, способствующих объединению, так что крупная фирма А всегда привлекательна для мелкой фирмы Б в качестве партнера (мелкий производитель компьютерной техники всегда рад форме партнерства с гигантом типа «Sun Microsystems»). С другой стороны, степень отталкивания определяется степенью конкуренции между ними, которая зависит от перекрывания рынков и номенклатуры производимых товаров. Очевидно, что две почти одинаковые компании, производящие ПК для американского внутреннего рынка, считают «смертельными врагами» именно друг друга, а не какую-то третью компанию, производящую программное обеспечение или поставляющую вычислительное оборудование для крупного бизнеса. Соперничество фирм не располагает их к милосердию: фирма А может примкнуть к некоему союзу не только потому, что он большой, но и потому, что, делая его еще больше, фирма А увеличивает свои шансы уничтожить фирму Б. Даже если союз, в который входит Б, больше, А предпочтет примкнуть к противной стороне, лишь бы не способствовать успеху Б.

В ландшафтной модели образования союзов, разработанной Аксельродом и его коллегами, каждая фирма подобно физической частице характеризуется собственными силами притяжения и отталкивания по отношению к каждой другой конкретной фирме-частице. Силы притяжения между фирмами А и Б определяются прежде всего их размерами, а силы отталкивания — степенью их взаимной конкуренции на рынке. Модель очень напоминает флюид ван дер Ваальса, с той существенной разницей, что каждая частица уникальна, а их число весьма невелико. При этом принцип, определяющий образование конечных конфигураций, идентичен подходу классической статистической механики: каким наиболее стабильным образом их можно собрать вместе? Иными словами: какое состояние соответствует равновесию?

Для нахождения такого состояния группа Аксельрода ввела некий аналог «общей энергии» для группы фирм, которая рассчитывается как суммы сил притяжения и отталкивания для всех пар в различных сочетаниях. Например, при попадании близких конкурентов в один союз-кластер общая энергия относительно возрастала из-за взаимного отталкивания. Более устойчивые конфигурации соответствовали положению конкурентов в разных кластерах. В состоянии с минимумом общей энергии — равновесном состоянии — никакие перемещения фирм не могут привести к дальнейшей стабилизации. Такое состояние напоминает упоминавшееся равновесие по Нэшу (для моделей со взаимодействующими агентами), которое достаточно близко к реальности.

Не возьмемся утверждать, что все счастливы в этой конфигурации с минимумом общей энергии. По крайней мере некоторые агенты таковыми, естественно, не являются. Обычно среди фирм после всех модельных процессов слияния образуется только два крупных союза, хотя все фирмы продолжают относиться ко всем прочим в большей или меньшей степени как к конкурентам. Всем им приходится «делить кровать» с непосредственными конкурентами, возможно, даже ближайшими, но у них нет выбора, потому что единственной альтернативой этому выступает неразумное и самоубийственное существование в виде отдельного образования. Знаменитый древнегреческий историк Фукидид в V веке до нашей эры очень метко подметил, что угроза гибели может объединять самых непримиримых противников: «Взаимный страх является самой надежной основой для объединения»¹.

Понятно, что наиболее устойчивое состояние с необходимостью содержит элемент «фрустрации», т. е. чувство неудовлетворенности и даже крушения надежд для каждой из фирм. Я употребил этот термин сознательно, так как он используется в похожих ситуациях в физике. В модели Изинга каждый магнитный атом располагается в узле решетки, а его магнитный момент (спин) может иметь одно из двух противоположных направлений. В так называемых ферромагнетиках (к ним относится, например, железо) в наиболее устойчивом состоянии все спины направлены в одну сторону. Но в некоторых других магнитных материалах (называемых антиферромагнетиками) взаимодействие соседних атомов таково, что их спины в результате ориентируются в противоположных направлениях.

Если атомы располагаются на квадратной решетке, это требование противоположной направленности соседних спинов действительно может быть реализовано (рис. 12.1, а). Однако это становится невозможным на треугольной решетке. В таких решетках атомы образуют трехчленные кластеры, располагающиеся на одинаковых расстояниях друг от друга, как показано на рис. 12.1, б. Любые два из атомов такого кластера могут «свободно» выбрать противоположную ориентацию своих спинов, а вот третий должен вынужденно примкнуть к одному из них. Это и называется фрустрацией — невозможностью удовлетворить конфликтующие желания всех сторон одновременно.

Кстати, физический смысл этого результата довольно прост и сводится к тому, что системы, описываемые представленной на рис. 12.1, б треугольной решеткой Изинга, не имеют единственного, строго определенного наиболее устойчивого состояния, так как всегда содержат небольшие участки с неупорядоченной направленностью спинов. Физики придумали для таких систем название спиновые стекла, желая подчеркнуть их сходство со стеклообразными веществами, где атомы (в отличие от кристаллов) никогда не располагаются совершенно упорядоченно.

Вместо одного наиболее устойчивого состояния в спиновых стеклах наблюдается довольно большое число устойчивых конфигураций с примерно близкими значениями энергии. Один из современных методов их описания состоит в построении так называемого энергетического ландшафта, т. е. своеобразной «карты», связывающей все возможные конфигурации и соответствующие им энергии. Построение такого ландшафта мы поясним на примере шахматной игры, которая заслуживает отдельного упоминания в нашем рассмотрении. Хотелось бы напомнить, что поразительная красота, смысл и постоянная привлекательность шахматной игры возникают на удивительно простой основе: плоская решетка из 8 х 8 = 64 клеток и по 16 фигур у каждого игрока. Эта простая система позволяет создать столь немыслимо большое, астрономическое количество различных позиций и осмысленных действий между ними, что даже самые мощные современные компьютеры не могут находить оптимальные, т.е. наиболее точные решения. Не вдаваясь в эту тему, отметим что самые лучшие шахматные программы до сих пор основаны на простом переборе вариантов и голом расчете последствий отдельных действий.

Мы попробуем на примере шахматной игры понять и оценить возможности теории энергетических ландшафтов. Попробуем чисто формально и систематически описать все конфигурации и позиции, возникающие на доске, и сопоставить с каждой конфигурацией точку на привычных нам диаграммах в двух координатах для двух фигур разного цвета, например, белой королевы и левого черного слона. Мы можем по каждой оси указать последовательно все клетки доски, т. е. перечислить их по номерам от 1 до 64 (желая быть последовательными, мы можем даже включить в рассмотрение и начало координат, точку 0, что будет означать отсутствие фигуры на доске). Затем мы можем по оси абсцисс указать положение белой королевы (например, БК в клетке 5), а по оси ординат — положение левого черного слона (например, ЛЧС на клетке 42) и т. д. В результате сочетание на доске двух фигур (белой королевы и левого черного слона) будет описываться точкой с координатами БК5, ЛЧС42 на квадратной решетке 64 х 64, что и показано на рис. 12.2, а справа вверху.

Такое описание, естественно, довольно сложно, так как для обозначения всех возможных позиций шахматных фигур на доске по этому методу нам понадобится 32 оси координат. Но вообще-то это обстоятельство если и создает сложности, то только для визуального представления, поскольку математики прекрасно умеют работать с такими многомерными пространствами. Каждая точка на такой сверхрешетке соответствует одному конкретному расположению всех фигур на шахматной доске.

Рис. 12.2. Каждая позиция на шахматной доске может быть представлена точкой на многомерной плоскости. Например, двумерная диаграмма на рисунке {а) описывает положение лишь двух упомянутых в тексте фигур, поэтому диаграмма для всех фигур должна содержать 32 оси координат. Создав аналогичную многочастичную диаграмму для всех атомов в спиновых стеклах и отложив по третьей оси соответствующую системам энергию, можно получить так называемый энергетический ландшафт системы (б).

Возвращаясь к рассматриваемой проблеме, отметим, что именно так можно сформулировать и задачу об энергии конфигурации спинов в упоминавшихся спиновых стеклах, когда их каждой конкретной комбинации (т.е. полной записи всех положений «вверх» и «вниз») соответствует некая точка на многомерной решетке. Число измерений решетки равно числу спинов в системе, и каждая конфигурация характеризуется собственной общей энергией, значение которой мы можем точно вычислить, суммируя все взаимодействия между парами соседних спинов (в каждой конкретной модели часть взаимодействий оказывается энергетически выгодной, часть — нет).

Следующим этапом моделирования становится введение еще одной оси, по которой откладываются вычисленные по этой модели значения общей энергии (основного параметра моделирования) системы в данной точке решетки. Общее решение задачи становится гораздо более удобным для анализа и наглядным, когда многомерная решетка сводится к двумерной, в результате чего картина приобретает привычный трехмерный вид, где каждая точка на плоскости соответствует конкретной конфигурации спинов, а высота — энергии этой конфигурации. Соединив для наглядности эти точки аппроксимирующей поверхностью, мы получаем некую топологическую карту, показывающую, как меняется энергия при изменении конфигурации спинов (рис. 12.2, б). Долины на такой карте соответствуют состояниям, когда небольшие флуктуации (т. е. перестановка небольшого числа спинов) очень слабо меняют общую энергию, что позволяет говорить о «локальной» устойчивости системы. Легко заметить, что любое движение из таких участков, соответствующее подъему по ландшафту, приводит к повышению энергии системы.

Для реальных спиновых стекол энергетический ландшафт обычно бывает очень изрезанным или неровным, т. е. содержит множество долин с относительно близкими значениями минимумов общей энергии (рис. 12.3, а). Совершенно иная картина наблюдается в стандартной модели Изинга для ферромагнетиков, когда существуют две четко выраженные долины (естественно, с одинаковой глубиной), соответствующие двум противоположным направлениям всех спинов системы одновременно. Изменение направленности нескольких спинов в этом случае приводит лишь к незначительному росту энергии, так что в окрестности минимумов этих долин системы остаются весьма устойчивыми.

Рис. 12.3. Энергетический ландшафт спинового стекла (а) содержит много долин и вершин, обладающих примерно одинаковыми значениями. На рисунке представлен разрез ландшафта, напоминающий обычный топографический профиль гористой местности. Аналогичный разрез для ферромагнетиков (6) выявляет лишь две долины одинаковой глубины, соответствующие равновесным состояниям, когда все спины направлены в одну сторону, все вниз или все вверх.

Напомним, что модель Изинга применима также к флюидам, которые могут превратиться в газ или жидкость. Таким образом, мы можем представить себе энергетический ландшафт для системы частиц, в которой координаты соответствуют различным пространственным конфигурациям частиц, а высота соответствует энергии состояний, определяемых силами взаимодействия между частицами. А это уже эквивалентно модели Аксельрода для союзов, в которых «частицы» собираются в кластеры, которые испытывают некоторую фрустрацию из-за внутренних противоречий.