Герман Гельмгольц и вихри
На долю Гельмгольца выпало указать весьма замеча-
тельные свойства вихревого движения... свойства вихре-
вых колец подали сэру У. Томсону мысль о возмож-
ности построить новую форму атомистической теории...
Л. Больцман
Нервный импульс мало похож на частицу. Этим он, конечно, сильно отличается от солитона Рассела. На частицы гораздо более похожи вихри, и особенно вихревые кольца, удивительные свойства которых были открыты Гельмгольцем в 1858 г. С вихрями, как и с волнами, знаком всякий. В воде они возбуждаются так же легко, как волны, достаточно провести рукой по поверхности воды в ванне или закрутить ложкой чай в стакане. Каждый видел вихри, оставляемые веслами, и кольца табачного дыма. Возможно, кому-то встречались мощные атмосферные вихри — смерчи. В общем, что такое вихрь — объяснять не надо.
Наблюдения над вихрями и размышления об их удивительных свойствах, вероятно, побудили знаменитого французского философа и математика Рене Декарта (1596—1650) положить вихревое движение в основу объяснения всего наблюдаемого мира. В «Началах философии» он нарисовал картину Вселенной, пронизанной вихрями: «...предположим, что вся материя... разделена на части... что все они стали двигаться... двумя различными способами, а именно: каждая вокруг собственного средоточия, образовав жидкое тело, каковым я полагаю небо; кроме того, некоторые двигались совместно вокруг нескольких центров...» На рисунке из этого трактата (рис. 3.1) частицы в пространстве АЕI вращаются вокруг своих осей, образуя малые вихри, а все вместе вращаются вокруг центра S и т. д. Заметим, что в виде некоего вихря, разбросавшего планеты, представлял себе Солнечную систему и Кеплер, а о вращательном («коловратном») движении мельчайших частиц вещества много размышлял Ломоносов.
Ньютон легко уловил непоследовательности и противоречия в декартовой картине мира, и она, правда, после довольно упорного сопротивления ее сторонников, была оставлена. Однако, отбросив полностью все идеи Декарта, Ньютон отбросил и важную мысль о близкодействии. У Декарта всякое возмущение передавалось в пространстве только от одного вихря к другому, и поэтому не могло быть и речи об абсолютно пустом пространстве или распространении каких бы то ни было взаимодействий с бесконечной скоростью.
Понятие о дальнодействии предопределяло, вероятно, и то, что Ньютон более склонялся к представлению о свете как потоке частиц («корпускул»). Он, правда, весьма осторожно высказывался на эти темы. Например, обсуждая распространение света в веществе, он не исключает возможности каких-то волновых, периодических процессов («приступы легкого прохождения и легкого преломления»). Более того, Ньютон дал наброски контуров компромиссной теории, соединяющей достоинства корпускулярных и волновых представлений о свете. Отвечая на критику, высказанную его знаменитым современником и соперником Робертом Гуком *), он писал в 1672 г.: «...если мы предположим, что световые лучи состоят из маленьких частиц, выбрасываемых по всем направлениям светящимся телом, то эти частицы, попадая на преломляющие или отражающие поверхности, должны возбудить в эфире колебания столь же неизбежно, как камень, брошенный в воду...». С волновыми представлениями он связывает восприятие цвета, дисперсию. Однако Ньютон видел и очень серьезные возражения против чисто волновой картины: «По моему мнению, невозможно, что волны или колебания какой-либо жидкости распространяются по прямым линиям, не загибаясь...». Гук не смог дать ответа на возражения Ньютона. Впервые решил эту проблему знаменитый голландский ученый Христиан Гюйгенс (1629—1695), показавший также, каким образом в волновой теории можно получить закон преломления.
*) Науке, вероятно, повезло, что в Лондоне в одно и то же время жили и работали Ньютон и Гук, который был самым блестящим экспериментатором своего времени и человеком глубоких и разнообразных познаний. Столетиями значение Гука в науке недооценивалось; в наше время с этой несправедливостью покончено (см., например, книгу: Боголюбов А. Н. Роберт Гук. — М.: Наука, 1984).
Тем не менее волновая теория стала общепризнанной лишь в начале XIX в. И вот тут-то проявилась главная трудность — проблема эфира. Казалось естественным представлять эфир в виде идеальной (без трения) жидкости. Однако было столь же ясно, что световые волны мало похожи на звуковые. Так случилось, что стали думать о более сложных движениях в жидкостях, и естественно возродились, хотя и в совершенно новом обличье, вихри Декарта.
В 1861—1862 гг. Максвелл опубликовал несколько работ под общим названием «О физических силовых линиях», которым можно было бы дать подзаголовок «теория молекулярных вихрей и ее применение к электрическим, магнитным и световым явлениям».
Другой великий физик, Людвиг Больцман (1844—1906), один из создателей современной кинетической теории вещества, написал впоследствии к этим работам обширный комментарий. В нем он говорит, что «...этот цикл принадлежит к наиболее интересному, что только знает история физики...»
Максвеллова вихревая модель изображена на рис. 3.2, взятом из его работы. «...АВ представляет элекрический ток... шестиугольники выше и ниже АВ — вихри, а малые окружности, разделяющие их... представляют электричество...» Когда идет ток, «колесики» на линии АВ приводят во вращение вихри, те передают вращение через другие колесики дальше. Оси вихрей направлены по силовым линиям магнитного поля, а угловая скорость вращения вихря пропорциональна напряженности магнитного поля. С помощью этой модели Максвелл сумел получить уравнения, описывающие взаимодействие магнитного поля и токов и распространение электромагнитного поля от точки к точке с конечной скоростью. Именно этот гениальный скачок мысли от грубой механической модели к тончайшей и абстрактной теории, видимо, и вызвал восхищение Больцмана, который сам очень любил строить простые модели для самых сложных физических явлений.
Максвелл, однако, не был удовлетворен достигнутым. Он неоднократно подчеркивает, что это всего лишь модель, и впоследствии пытался выводить свои уравнения другими, более абстрактными способами. Тем не менее он постоянно пользуется физическими аналогиями, стремясь к наглядному пониманию сложных электромагнитных явлений. Особенно часто он сравнивал электромагнитные процессы с вихревыми движениями жидкости. Статью Гельмгольца о вихрях он хорошо знал и часто цитировал.
Статья эта была напечатана в «Журнале чистой и прикладной математики», основанном в 1826 г. немецким инженером и математиком-любителем Августом Леопольдом Крелле. В журнале были опубликованы многие выдающиеся работы, в первых номерах журнала были напечатаны статьи Абеля, котopoгo Крелле очень ценил и поддерживал. В статье Гельмгольца была разработана математическая теория вихрей в несжимаемой, невязкой (без трения) жидкости. Движения такой жидкости, обычно называемой идеальной, описываются уравнениями, выведенными Эйлером. Стокс первым ясно разделил движения жидкости на безвихревые и вихревые и подробно исследовал безвихревые движения. Гельмгольц поставил перед собой задачу понять законы движения и взаимодействия вихрей и сразу обнаружил удивительные явления.
Чтобы понять главные результаты Гельмгольца, нужно сначала уяснить себе, что такое вихревое движение и вихри. Вихри, которые легко создать в воде движением руки, живут очень недолго, и за ними трудно наблюдать. Понаблюдаем поэтому за вихрем, который образуется в ванне, когда мы выпускаем из нее воду. Наполним ванну, подождем, чтобы движения в воде успокоились, и осторожно вынем пробку, положив на поверхность воды над отверстием несколько коротких кусочков спичек. Если образуются вихри, то мы увидим, что спички будут двигаться по-разному. Одна, расположенная в центре вихря, быстро вращается вокруг своей оси («вокруг собственного средоточия»), а остальные вращаются совместно вокруг первой. Движение далеких спичек не связано с вращением вокруг «собственного средоточия». В центре вихря движение вихревое, а там, где спички не вращаются вокруг своей оси, оно безвихревое. Через некоторое время можно увидеть, что от середины вихря протягивается тонкая ножка и образуется воронка. Пока не образовалась воронка, мы имеем возможность наблюдать одиночный вихрь. Его ось вращения Гельмгольц назвал вихревой линией. Этот и другие вихри в воде живут недолго. Если закрыть отверстие в ванне, то вихрь быстро исчезнет.
Поведение идеальной жидкости, однако, разительно отличается от наблюдаемых движений воды. Гельмгольц доказал, что вихри в идеальной жидкости не могут исчезать или возникать. В воде они возникают только за счет того, что между соседними частицами жидкости существует трение (вязкость), посредством которого вращение одной частицы передается другой (вспомните модель Максвелла!). Он также доказал, что вихревая линия не может оканчиваться внутри жидкости, т. е. она либо замкнута, либо оканчивается на поверхности или на дне и стенках. Если жидкость движется как целое, то вихрь уносится, как лодка, общим потоком. Однако если нет других вихрей, то его центр остается неподвижным относительно окружающей воды.
Очень интересно взаимодействие двух вихрей. Если вихри вращаются в одном направлении, то они движутся по окружностям вокруг общего центра О, расположенного между ними, как показано на рис. 3.3. Если они вращаются в противоположных направлениях, то центр вращения находится вне отрезка O1O2. Особенно интересен случай, когда оба вихря вращаются в противоположных направлениях, но в остальном совершенно одинаковы. Тогда оба вихря движутся по прямой, составляя как бы одно целое (скорости v1 и v2 становятся одинаковыми, и точка О уходит в бесконечность). Все частицы жидкости внутри некоторого овала движутся относительно остальной части жидкости с постоянной скоростью (рис. З.4). В системе, относительно которой этот овал покоится, жидкость обтекает его, как она обтекала бы твердое тело в форме этого овала. Это замечательное явление было подробно изучено в работе Кельвина «О вихревом движении» (1869 г.), и мы будем называть эту похожую на частицу пару вихрей овалом Кельвина. Наблюдать пару вихрей в воде не очень легко, но, проявив некоторое терпение, можно увидеть их, возбуждая вихри в ванне плавным движением перевернутого ковшика (глубоко погружать его не надо). Следить за вихрями легче всего по их теням на дне, нужно только удачное освещение сверху. Овал, конечно, увидеть не удастся, но пара вихрей выделяется достаточно четко по их совместному движению. Заметим, что на мелкой воде вихри быстро затухают, а на более глубокой воде наблюдается на самом деле не пара независимых вихрей, а две воронки одного вихря, изогнутого дугой (см. рис. З.5).
Увидеть такую структуру пары вихрей довольно трудно (попробуйте!), но кольцевые вихри наблюдать очень легко.
Кольцевые вихри (или вихревые кольца) тоже изучил Гельмгольц, он же описал простые опыты, в которых можно их наблюдать *). Самое интересное явление — взаимодействие двух колец. Если в идеальной жидкости два одинаковых вихревых кольца движутся вдоль общей оси OO' в одном и том же направлении с одинаковыми скоростями, то они начинают притягиваться (рис. 3.6, а). При этом кольцо 1 расширяется и замедляет движение, а кольцо 2 стягивается, ускоряется и проскакивает через кольцо 1 (рис. 3.6, б). Как только это произойдет, кольцо 2 начинает расширяться и замедляться, а кольцо 1 — сужаться и ускоряться. Когда их размеры и скорости сравниваются (рис. 3.6, в), вся игра повторяется (рис. 3.6, г), и так до бесконечности.
*) Подробное описание опытов Гельмгольца и их усовершенствованных вариантов см., например, в книге: Опыты в домашней лаборатории. — М.: Наука, 1980. — Библиотечка «Квант», вып. 4.
Такую картину взаимодействия колец Гельмгольц и Кельвин получили чисто теоретически, исходя из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Гораздо труднее найти таким способом, что произойдет при взаимодействии колец, движущихся в разных направлениях. Подобные задачи начали исследоваться с помощью численных расчетов на больших ЭВМ лишь совсем недавно. Эти исследования подтвердили, что вихри и кольца во многом похожи на частицы. Еще раз подчеркнем, что частицы эти довольно необычные, и механика их отличается от ньютоновской. Первый закон Ньютона для вихрей изменяется. Изолированный вихрь всегда покоится относительно среды, а овал Кельвина или кольцо Гельмгольца движутся равномерно и прямолинейно, в покое они находиться не могут. Взаимодействие двух вихрей также не похоже на взаимодействие обычных точечных частиц, но взаимодействие пар вихрей или вихревых колец можно описывать на языке механики деформируемых частиц конечного размера. Эта аналогия не хуже и не лучше, чем описанная выше аналогия уединенных волн Рассела упругим мячам.