ЭВМ удивляет Энрико Ферми
Энрико Ферми был одним из величайших физиков нашего века — теоретиком и экспериментатором. Его имя навсегда связано с открытием и освоением ядерной энергии, исследованием элементарных частиц и со многими другими областями физики. Менее известно, что он многие годы серьезно интересовался различными нелинейными явлениями, а незадолго до смерти заинтересовался турбулентностью и выполнил несколько работ по гидродинамике. Одна из них сделана совместно с фон Нейманом, и, возможно, что не без влияния фон Неймана Ферми начал думать об освоении неизвестных земель «нелинейной физики» с помощью экспериментов на ЭВМ.
Прежде чем рассказывать об этих экспериментах, надо все же сказать хоть несколько слов о Ферми и фон Неймане, этих двух великих ученых, заложивших основы для многих крупнейших достижений науки и техники ХХ в. В их судьбах можно проследить поразительные параллели. Ферми родился двумя годами раньше фон Неймана, а прожили они до обидного мало, оба ушли из жизни в 53 года, в тот момент, когда были полны новых замыслов. И Ферми, и фон Нейман были одарены от природы необычайными способностями к научной работе и, сверх того, абсолютной памятью.
Способности фон Неймана в математике и лингвистике проявились необычайно рано. Известно, что в возрасте 6 лет он любил обмениваться с отцом шутками на древнегреческом языке, а впоследствии свободно говорил и писал на нескольких языках. Известным его хобби было изучение истории, в особенности культуры Византии. Говорят, что в этой области он был первоклассным специалистом. Естественно, что о таком человеке рассказывали множество историй и легенд.
Стоит привести одну подлинную историю, рассказанную Г. Голдстайном, много лет знавшим фон Неймана и работавшим вместе с ним над созданием одной из первых в мире ЭВМ. Молодой ученый обратился к фон Нейману с просьбой помочь найти долго не дававшееся ему доказательство придуманной им теоремы. Нейман немедленно, не задумываясь, дал это доказательство и записал его на доске. Через неделю юноша подошел к нему на приеме, еженедельно устраивавшемся Нейманом для друзей и сотрудников, и, смущаясь, сказал, что не может вспомнить доказательство. В ответ Нейман тут же, в заполненной гостями комнате, почти слово в слово повторил доказательство!
Столь же легендарной личностью был Ферми. Инженер Адольф Амидей, снабжавший пятнадцатилетнего Ферми книгами по математике, вспоминает, что «...Энрико достаточно было прочесть книгу один раз, чтобы знать ее в совершенстве. Когда он возвращал прочитанную книгу Дини по математическому анализу, я предложил ему оставить ее у себя, чтобы он мог заглядывать в нее. Ответ Ферми был поразительным: — Благодарю Вас, в этом нет нужды, я уверен, что запомнил все необходимое. Вообще, несколько лет спустя я буду понимать ее основные идеи еще более отчетливо, и если мне понадобится какая-нибудь формула, я легко выведу ее». Многочисленные свидетельства учеников и сотрудников Ферми подтверждают, что юный Энрико вполне объективно оценивал свои уникальные способности.
Встреча двух универсальных гениев — физика и математика — произошла в Америке, куда оба уехали, не пожелав оставаться под властью фашистских режимов. Ученик и сотрудник Ферми Эмилио Ceгpe, открывший вместе с О. Чемберленом и другими антипротон (1955 г.), рассказывает: «Ферми был чем-то вроде оракула, к которому любой физик мог обратиться за помощью. Мне помнится, как он и фон Нейман обсуждали гидродинамические задачи. Это было похоже на соревнование у доски в кабинете Ферми — кто первым решит поставленную задачу (первым обычно оказывался фон Нейман, который умел фантастически быстро считать). Однажды я прервал такое обсуждение, так как первоклассный знаток электроники из моей группы не мог справиться с новой и очень трудной задачей. Дело было срочное, и мы в отчаянии заглянули к Ферми. Примерно за 20 минут он придумал схему, которая могла решить вопрос... Другим оракулом лаборатории был фон Нейман. Однажды один известный физик-экспериментатор и я целый день безуспешно ломали голову над задачей, для решения которой нужно было взять некий интеграл. Поставивший нас в тупик интеграл был написан на доске, когда мы увидели идущего по коридору фон Неймана. «Не можете ли Вы помочь нам с этим интегралом?» — спросили мы у него. Фон Нейман глянул на доску и продиктовал ответ. Мы совершенно остолбенели. Подобные примеры можно было бы приводить без конца. Оба оракула относились друг к другу с дружбой и восхищением, а общий интерес к компьютерам укреплял эту дружбу. Ферми был знатоком численных расчетов и сразу же обратил внимание на перспективы использования быстродействующих ЭВМ. Он затратил много времени на освоение ЭВМ и много работал на них. Выдающаяся роль фон Неймана в разработке ЭВМ, без сомнения, общеизвестна».
Работа, о которой мы собираемся рассказать, была сделана в лабораториях Лос-Аламоса, возникших в связи с атомным проектом. Впоследствии эти лаборатории стали также одним из главных центров изучения нелинейных явлений, в частности хаоса. Не случайно, что Фейгенбаум сделал свое открытие будучи сотрудником этих лабораторий. Даже самым оригинальным и независимым умам для работы необходима определенная атмосфера. Что такое эта «атмосфера», определить очень трудно, еще труднее ее создать. В Лос-Аламосе такая атмосфера была, и работа Фейгенбаума появилась не на пустом месте.
Но вернемся к задаче, поставленной Ферми перед ЭВМ. Вместе с математиками Станиславом Уламом и Джоном Пастой он в 1952 г. задумал выполнить обширные машинные эксперименты по исследованию нелинейных задач. Первой из них и была задача о порождении теплового хаоса в цепочке грузиков с нелинейными пружинками. Как вспоминал С. Улам: «Ферми часто говорил, что будущие фундаментальные физические теории будут, вероятно, основаны на нелинейных уравнениях, и поэтому было бы полезно попрактиковаться в математике, необходимой для понимания нелинейных систем. План состоял в том, чтобы начать с простейшей, по возможности, физической модели... затем постепенно увеличивать сложность и общность решаемых на машине задач... Решение всех этих задач послужило бы подготовкой к установлению, в конце концов, модели движений системы, в которой должны были бы наблюдаться «перемешивание» и «турбулентность»... За одно лето Ферми весьма быстро научился программировать задачи для ЭВМ и мог не только спланировать общую схему расчета, но и самостоятельно провести подробное программирование всей задачи. Результаты вычислений, проведенных на старой машине МАНИАК, оказались интересными и весьма неожиданными для Ферми. По его мнению, они явились некоторым откровением». Машина сумела настолько удивить Ферми, что он, уже будучи смертельно больным, интересовался продолжением расчетов и говорил, что эта одна из самых важных задач, с которыми он когда-либо встречался. Что же так поразило Ферми?
Ферми, Паста и Улам предложили машине рассчитать колебания системы из 32 грузиков, связанных пружинками, которые при растяжении их на ?l создают возвращающую силу k?l + ?(?l)2. При этом нелинейная поправка ?(?l)2 считалась малой по сравнению с основной, линейной силой k?l. Таким образом, машина должна была решать систему из 32 уравнений, подобных уравнениям (4.8), но с добавленными в правой части нелинейными силами ? [(xi+1 - xi)2 - (xi - xi-1)2]. Так как эти добавки малы, то можно следить не за движением отдельных частиц, а за изменением синусоидальных мод линейных уравнений, получающихся при ? = 0. При ? 
0 моды перестают быть независимыми, и энергия медленно (по сравнению с их периодами) перекачивается из одной моды в другую.
Рассмотрим движение из начального состояния, в котором возбуждена одна 1-я мода (обозначим ее период буквой Т). Сначала действительно начинается перекачивание энергии в другие моды. Однако никакой хаотичности в этом не наблюдается (см. рис. 7.2). При t 
20 Т возбуждена в основном 3-я мода. Затем начинает «солировать» 2-я мода (при t 28 Т). При t 44 Т энергия оказывается сосредоточена в 3-й моде, и при t 56 Т снова возвращается к 1-й. Более высокие моды возбуждаются мало, максимальная энергия 4-й моды меньше половины энергии первой (т. е. полной энергии), а 5-я мода может получить не более шестой части полной энергии. На рис. 7.2 изображены вычисленные отклонения грузиков в различные моменты времени (масштаб по оси y для удобства сильно увеличен).
Может быть, это случайность? Нет, при увеличении числа грузиков, при изменении ?, при изменении самой формы нелинейной силы (скажем, ?(?l)3 вместо ?(?l)2) это явление сохраняется. Моды не сливаются в общий беспорядочный хор, а выделяют несколько солистов, которые выступают по очереди, остальные им аккомпанируют. Когда возвращается первый солист, все начинается сначала! Время возвращения Тв (в нашем случае Тв 56 Т) зависит от числа N, от вида нелинейности, но солирование низших мод и возвращение при Т = Тв наблюдалось всегда.
Полученный результат можно наглядно изобразить простой музыкальной пьесой (см. рис. 7.3).
Здесь «записаны» моды, которые последовательно звучат на струне, соответствующей нашей системе грузиков. Каждой моде соответствует нота: 1-й — нижнее «до», 2-й — «до» октавой выше и т. д. *). Изображенные нотами моды звучат в отдельные моменты, только громкость мы изобразили длительностью звучания ноты. В два раза более громкая нота звучит у нас в два раза дольше и т. д. На рис. 7.3 представлена только половина «пьесы», далее происходит возвращение к начальному «до» в обратном порядке.
*) Нижнее «до» большой октавы имеет частоту примерно 64 Гц. Будем просто считать, что параметры нелинейной системы грузиков подобраны так, что частота 1-й моды равна 64 Гц.
Итак, вместо ожидаемой какофонии, когда одновременно звучат с одинаковой силой все моды, получается примитивная, но вполне музыкальная пьеса. Нелинейная система ведет себя действительно совершенно неожиданно. На начальное возбуждение она отвечает целой пьесой. Если возбудить систему иначе, скажем, начать со 2-й моды, получится другая пьеска. Не «струна», а небольшой композитор-автомат! Кстати, к современным ЭВМ нетрудно присоединить устройства, которые будут преобразовывать движения струны в такие музыкальные пьесы. Они будут звучать гораздо интересней, чем пьеса, изображенная здесь, так как все переходы от одного аккорда в другой происходят непрерывно, а кроме того, есть небольшая примесь высших мод, которая даст богатый тембр...
Признаемся, что музыкальная аналогия не приходила в голову авторам рассказанной замечательной работы, однако их результат удивителен и без всяких аналогий. Удивил он и нескольких других физиков и математиков, которые начали методично разбираться, в чем тут дело. Особенно заинтересовались явлением Ферми — Пасты — Улама американские физики Мартин Крускал и Норман Забуски, которые познакомились с ним «из первых рук». Они продолжили машинные эксперименты и, кроме того, начали размышлять, не похожа ли нелинейная струна на что-нибудь знакомое. Сначала они просто повторяли численные эксперименты Ферми — Пасты — Улама (мы будем, как это принято, пользоваться сокращением ФПУ). Потом попробовали изучить движения непрерывной струны, в которую переходит цепочка ФПУ при неограниченном увеличении числа грузиков и уменьшении расстояний между ними. После многих проб и ошибок они пришли к удивительному результату — наилучшее описание движений такой нелинейной струны при достаточно малых отклонениях ее от положения равновесия дается уравнением Кортевега — де Фриза!