Малые колебания маятника

Чтобы подступиться к решению нелегкой задачи о движениях маятника, рассмотрим сначала малые колебания, когда угол настолько мал, что можно положить sin ?  ?. Уравнение теперь становится линейным (это и есть линеаризация!):

, и можно угадать (или вспомнить!) его решение ? = ?_M(?₀t) *), которое равно нулю при t = 0. Благодаря линейности уравнения максимальное значение угла ?_M формально может быть произвольным числом, но мы, конечно, должны помнить, что при больших значениях ?_M наше приближение не годится. Поэтому число ?_M должно быть таким, что sin ?_M  ?_M.

_{*) для этого достаточно вспомнить правило дифференцирования тригонометрических функций. Ниже это движение будет построено другим, геометрическим способом.}

Этим решением, разумеется, не исчерпывается все множество решений. Мы заранее предположили, что ?(0) = 0, и этим отбросили, например, решение ? = cos (?₀t), которое тоже легко угадать. Пользуясь линейностью, теперь можно найти и общее решение, складывая sin (?₀t) и cos (?₀t), умноженные на произвольные амплитуды. Ясно, что этим способом получается любое колебание, так как первое решение позволяет получить любое значение скорости в начальный момент, а второе — задать любое начальное положение.

^{Самое общее малое колебание можно получить и другим способом, понимание которого очень полезно. Заметим, что движение  ? = ?_Msin(?₀t) можно наблюдать, пустив другие часы отсчитывать время в момент t₀ (по старым часам). При новом отсчете времени то же самое движение будет выглядеть как ? = ?_Msin[?₀(t + t₀)].}

^{Нетрудно проверить, что это решение при любых t₀ удовлетворяет уравнению 4.1. Отсюда следует, что если движение ? = ?_Msin(?₀t) возможно, то и движение ? = ?_Msin[?₀(t + t₀)] также возможно. А это движение уже самое общее, поскольку подбором ?_M и t₀ можно задать любые начальные значения скорости и положения.}

^{Решение уравнения для малых колебаний можно найти совсем простым способом. Достаточно вспомнить геометрическое определение тригонометрических функций и закон движения материальной точки по окружности. Пусть точка М движется по окружности единичного радиуса с постоянной скоростью V = ?₀ (рис. 4.2). Скорость V направлена по касательной, и ее проекция на ось Оу равна ?₀cos ?, где ? = ?₀t (радиан). Точка S совершает гармоническое движение, длина отрезка (OS) = sin ?₀t, и ее скорость v равна проекции скорости V на ось Оу, т. е. v = ?₀cos(?₀t). Полное ускорение ? направлено к центру и равно  (радиус окружности равен 1). Ускорение точки S равно проекции ускорения а на ось Оу, т. е. . Таким образом, ускорение точки S равно . Если взять (OS) = ?, получим ?" = . Обозначив , находим, что ? = sin(?₀t) есть решение линейного уравнения для малых колебаний маятника. Заодно вспомним, что период колебаний Т совпадает с временем полного оборота точки М по окружности, т. е. равен .}