Три солитона

В «клубе многоликих солитонов», многие из которых уже успели стать знаменитыми, выделяются три наиболее важных типа настоящих солитонов. Это солитоны КдФ, ФК и «групповые». Они замечательны своими математическими свойствами, поддаются точному и строгому математическому описанию и имеют наибольшее число физических воплощений. Между ними много общего, но есть и существенные отличия.

Солитоны Рассела — КдФ рождаются в физических системах, в которых волны слабо нелинейны и слабо диспергируют. Если первоначальный импульс распался на некоторое число солитонов, то все они бегут в одном и том же направлении со скоростями, пропорциональными их высотам, а ширина каждого солитона обратно пропорциональна квадратному корню из его высоты. При столкновениях солитоны обмениваются энергией подобно упругим мячам.

Отвлекаясь от несущественных деталей, можно сказать, что примерно так же ведут себя и другие истинные солитоны. Солитон огибающей это плавно модулированная монохроматическая волна в слабо нелинейных и сильно диспергирующих средах. Его ширина обратно пропорциональна амплитуде, но скорость от амплитуды не зависит. Форма КдФ-солитона и его скорость определяются условиями компенсации эффектов нелинейности и дисперсии. Для «группового» солитона о такой компенсации можно говорить лишь условно, во всяком случае наглядно все это довольно трудно представить. На самом деле групповой солитон очень сложный, необычный и непривычный объект, и на качественном физическом языке его поведение пока до конца не понято.

В некоторых случаях КдФ-солитоны и групповые солитоны можно считать частицами, которые подчиняются обычным законам движения ньютоновой механики. Так можно поступать, если одиночный солитон движется в слабо неоднородной среде, в которой эффекты затухания, вызванного трением, достаточно малы. При столкновениях с другими солитонами или с резкими неоднородностями среды становится существенным внутреннее устройство солитона. Даже при столкновениях с малой неоднородностью среды (например, с небольшим местным изменением глубины дна) солитон не только ускоряется или замедляется, но и слегка деформируется. Однако, проскочив неоднородность, он восстанавливает прежнюю форму и скорость, так что его движение можно приближенно описать как движение частицы, встретившей на своем пути слабо притягивающий или отталкивающий центр.

Более существенное воздействие оказывает на эти солитоны трение. КдФ-солитон под действием трения постепенно замедляет движение, одновременно уменьшая высоту и расплываясь. Эта деградация солитона происходит по экспоненциальному закону — скорость и амплитуда убывают пропорционально ехр(-t/?), а ширина растет пропорционально ехр(t/2?). Время распада (или время жизни) солитона ? обратно пропорционально силе трения. При малом трении солитон хотя и деформируется, но достаточно долго остается солитоном. При большом трении само понятие солитона теряет смысл. Столь же бренно существование группового солитона. Правда, в первом приближении его скорость остается неизменной, но амплитуда убывает как ехр(-t/?), а ширина растет как ехр(t/?).

Таким образом, как солитоны Рассела, так и «групповые» солитоны затухают со временем. Тем более поражает удивительная устойчивость, почти «нетленность» третьего солитона. Солитон Френкеля — Конторовой (или ФК-солитон) под действием небольшого трения лишь замедляется и в конце концов остановится. Остановившись, он может жить практически «вечно». Например, дислокация будет существовать, пока существует и неизменен кристалл.

ФК-солитон наиболее «нелинейный» из трех солитонов, причем нелинейность в его уравнении особая (sin ?), и как раз особым характером этой нелинейности объясняется исключительная устойчивость ФК-солитона. Как мы обнаружили в предыдущей главе, эта устойчивость имеет топологическую природу; по этой причине ФК-солитон и называют топологическим солитоном.

_{Если в уравнении ФК (6.11) заменить sin ? на -2(? - ?²), то можно получить уединенные волны, очень похожие на ФК-солитоны:}

_{Они, однако, не обладают свойствами истинного солитона. Будучи типологически устойчивыми, они при столкновениях друг с другом все же не сохраняют индивидуальности и могут разрушиться, передав свою энергию периодическим нелинейным волнам. Если вместо sin ? в уравнении ФК взять 2(? - ?^З), то получившееся уравнение описывает уединенные волны типа КдФ, которые также не имеют свойств настоящих солитонов. Из этого не следует, что такие солитоноподобные объекты не интересны для физики. Наоборот, эти ближайшие родственники солитонов также приняты в солитонный клуб, и их очень внимательно изучают.}

Клуб солитонов непрерывно пополняется новыми членами, и в их многоликой толпе сегодня трудно ориентироваться даже специалистам. Выручают лишь тесные родственные связи между солитонами разных типов. Даже столь несхожие три главных солитона при ближайшем знакомстве оказываются «родственниками по математической линии». Их родственные отношения скрыты за довольно сложной и глубокой математикой, но догадаться об их существовании можно хотя бы по тому, что их «профили» очень похожи. Форма всех трех солитонов определяется одной и той же функцией — гиперболическим косинусом (для ФК-солитона это, на первый взгляд, неверно, но нужно вспомнить, что производная его профиля ?(t, х) по координате действительно обратно пропорциональна гиперболическому конусу). Более завуалирована связь между бризерами и групповыми солитонами. Оказывается, что бризер с малой амплитудой подчиняется такому же уравнению, как и группа волн на глубокой воде.

Еще более эффективно эта связь проявляется в явлении самонаведенной прозрачности, связанном с существованием оптических солитонов. Поглощение света в веществе обычно обусловлено возбуждением атомов вещества световой волной. При этом электроны перебрасываются из состояния с энергией E₀ в состояние с более высокой энергией Е₁. Если частота света ? такова, что энергия фотонов hv близка к разности Е₁ - E₀, то поглощение будет особенно сильным (резонансное поглощение). Для упрощения представим себе, что у атомов есть только два таких уровня. Это, конечно, карикатура, но суть явления она передает правильно.

Будем теперь пропускать через вещество короткие импульсы длительностью, скажем, 10^-10 с и с несущей частотой 10¹⁵ Гц (эта частота как раз и соответствует условию резонанса). Оказывается, что при достаточно большой амплитуде импульсов среда внезапно становится прозрачной для них! Что происходит? Приблизительно вот что. Передний фронт импульса перебрасывает электроны на верхний уровень и ослабляется, а задний фронт возвращает их в прежнее состояние, причем возникающее при этом излучение возвращается импульсу. В то же время скорость импульса и его форма «подстраиваются» так, что все эти процессы происходят совершенно синхронно (рис. 7.9). Оказывается, что форму импульса можно найти, решив уравнение, по существу совпадающее с уравнением ФК, хотя этот импульс представляет собой типичный групповой солитон (модулированная волна). В частности, его скорость и ширина зависят от амплитуды.

Естественно использовать подобные оптические солитоны для передачи информации по оптическим волокнам. Выгоды такого способа — большая скорость передачи очень большого количества информации (за счет малой длительности импульса), малый расход энергии и высокая надежность. В недалеком будущем нам с вами, вероятно, представится возможность пользоваться таким «солитонным телеграфом»!