ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Получим решение уравнения (4.7) геометрически, придав показательной функции е-?0t, которую записывают также в виде exp(?0t), геометрический смысл, аналогичный геометрическому смыслу тригонометрических функций.
Построим на плоскости (х, у) график гиперболы у = 1/х и обозначим буквой S площадь криволинейного треугольника ОО'А (рис. П1).
Тогда проекция точки А на ось Ох и есть x(S) = ехр(S). Это определение можно пояснить по-другому. Площадь ОО'А равна площади О'Ах(S)1, так как эти фигуры получаются вычитанием равновеликих треyгольников OAx(S) И OO'1 из одной и той же фигуры OO'Ax(S). Площадь O'Ax(S)1 по обычному определению есть натуральный логарифм: S = logex(S) = ln x(S), а x(S) = exp(S) — это просто обратная функция. Ясно теперь, что число е определяется условием е = x(1).
Если точка А движется по гиперболе так, что площадь S равномерно растет со временем, т. е. S = ?0t, то x(S) = exp(?0t), а y(S) = 1/x(S) = exp(-?0t). С помощью этого построения легко найти производную показательной функции. Площадь ?S бесконечно малого прямоугольника x(S)AA'x(S + ?S) равна [x(S + ?S) - x(S)]y(S) = ?S, откуда следует, что
[x(S + ?S) - x(S)]1/?S = 1/y(S) = x(S),
т. е. ?(eS)/?S = еS. Когда S = ?0t, то отсюда следует, что
?(eS)/?t = ?x/?t = ?0e?0t,
т. е. х' = ?0х. Точно так же у' = -?0у, и мы показали, что у = ехр (-?0t) — решение уравнения (4.7). Самое общее решение можно получить, если взять S = ?0(t + t0), т. е. просто сдвинуть начало отсчета времени.
Аналогия с геометрическим определением тригонометрических функций cos(?0t) и sin(?0t) теперь должна быть ясной. Они определялись как проекции на координатные оси точки, движущейся по окружности единичного радиуса. Поэтому площадь сектора, «заметаемого» радиусом, также равномерно нарастала со временем: S = ?0t.
Еще ближе аналогия тригонометрических функций с гиперболическими функциями. Построим на таком же рисунке, как и рис. П1 взаимно перпендикулярные оси ОУ и ОХ (рис. П2).
Поделенные на 
проекции X(S) и Y(S) точки А на эти оси называются гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом аргумента S и обозначаются следующим образом:
Эти функции похожи на sin S и cos S. Ясно, что их легко выразить через ехр (S) и ехр (-S), но полезно знать и геометрическое определение, исходя из которого можно найти все основные свойства показательной и гиперболических функций.
Самое главное свойство показательной функции, которое можно было бы взять за определение, выражается очень просто: eS1+S2 = eS1 • eS2. Доказывается оно геометрическим рассуждением, провести которое мы предлагаем читателю. Покажите также, что sh S = 1/2 (eS - e-S), ch S = 1/2 (eS + e-S).
2. Найдем теперь геометрическим построением решение уравнения (4.6). Обозначим 
= ? (рис. ПЗ).
Отсюда очевидно, что ? = (? - ?)/4 и tg ? = exp(-S)/exp(S) = exp(-2S). Приращение площади ?S при малом смещении точки А по гиперболе можно записать как площадь малого сектора с радиусом (ОА) 
(ОА') и углом -?? = 
, т. е. ?S = -???·(ОА)2. Так как (ОА) = ехр(S)/cos ?, то отсюда следует, что
Возвращаясь к углу ?, находим, что
Чтобы получить отсюда уравнение (4.6), достаточно положить S = ??0t. Тогда ?' = 2?0cos(?/2), а условие tg? = exp(-2S) дает
Мы показали, что угол ?(t) зависимость которого от t определена этим уравнением, удовлетворяет уравнение (4.6). Общее решение уравнения (4.6) можно найти сдвигом начала отсчета времени, т. е. заменой в формуле (4.9) t на t + t0. Если угол ? близок к ?, то для ? = (? - ?)/4 получим из (4.9), что ? = ехр(-?0t) (так как tg ? ?). Таким образом, ? удовлетворяет уравнению (4.7).
3. В заключение приведем некоторые солитонные уравнения и их простейшие решения.
Уравнение КдФ написано на с. 217, а его солитонное решение на с. 222, формулы (7.1), (7.2). Обычно это уравнение записывают для безразмерной функции u = 3y/4h от безразмерных переменных 
где точка обозначает производную по Т, а штрих — производную по X. Солитонное решение в новых переменных
u = 6k/ch2 [k (Х - VT)],
где k — произвольное число, а V = 1 + 4k2 (сравните это с (7.1) и (7.2)). Если заменить в уравнении КдФ и u2 на uЗ, то получим модифицированное уравнение КдФ (или мКдФ), также часто встречающееся в приложениях. Его солитонное решение имеет простой вид
u = k/ch [k (Х - VT)], V = 1 + k2.
Уравнение «синус-Гордона» приведено в тексте на с. 181, формула (6.11). Обычно его записывают для функции u = ? + ? от безразмерных переменных Т = ?0t и Х = ?0x/v0:
Как следует из (6.5), его односолитонное решение имеет вид
Два солитона описываются решением
u = 4 aгctg [V sh (?X)/ch (?VT)],
солитон-антисолитон решением
u = 4 aгctg [V-1 sh (?VT)/ch (?Х)],
а бризер есть
u = 4 aгctg [? sin (ЬТ)/Ь сh (?Х)], ?2 + Ь2 = 1.
Приведем еще солитонное решение уравнений цепочки Тоды:
где un — безразмерные координаты частиц в цепочке. Солитонное решение этих уравнений описывается формулами
? — произвольное число. Заметим, что дискретизованное уравнение КдФ имеет вид
а уравнения Тоды в континуальном пределе приводят к уравнению Буссинеска
которое иногда называют уравнением нелинейной струны.
Наконец, полезно знать простейшее уравнение нелинейной диффузии (Хаксли)
и его решение в виде уединенной волны
С другими уравнениями и их солитонными решениями читатель может познакомиться по книгам: Солитоны в действии/Под ред. К. Лонгрена, Э. Скотта. — М.: Мир, 1981; Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. В этих книгах описаны и многие физические приложения теории солитонов.
4. В этой книге мы не касались математической теории солитонов. Ее основы были заложены в конце 60-х — начале 70-х годов. Развитие математической теории солитонов началось с работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры, в которой был предложен метод решения уравнения КдФ (1967 г.). В следующем году П. Лакс существенно обобщил этот метод. В 1971 г. В. Е. Захаров и А. Б. Шабат распространили идеи ГГKM на другие типы уравнений, в частности на нелинейное уравнение Шредингера. В том же году В. Е. Захаров и Л. Д. Фаддеев доказали полную интегрируемость уравнения КдФ, рассматривая его как бесконечномерную гамильтонову систему уравнений. Во всех этих работах разрабатывался так называемый метод «обратной задачи рассеяния», в котором решение нелинейных уравнений сводилось к решению некоторых линейных уравнений, связанных с квантово-механической теорией рассеяния. В том же году Р. Хирота предложил прямой метод построения солитонных решений различных уравнений, использующий более простой математический аппарат. С работы Абловица, Каупа, Ньюэлла и Сигура (1973 г.) началась систематизация интегрируемых уравнений и классификация различных типов солитонов, в частности была доказана полная интегрируемость уравнения «синус-Гордона» и начались поиски других солитонов. В 1974 — 1975 гг. был найден общий подход к построению точных периодических решений уравнения КдФ (С. П. Новиков и др.), опирающийся на глубокие математические результаты Римана, Абеля и Якоби. Развитие этого подхода недавно привело к установлению нетривиальных связей между математической теорией солитонов и теорией струн.
Более полный обзор истории и современного развития математической теории солитонов можно найти в книгах: Солитоны/Под ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри. — М.: Мир, 1983; Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989.
В книге Ньюэлла отражены современные взгляды на теорию солитонов, согласно которым наиболее интересны не отдельные солитонные решения нелинейных уравнений и даже не сами эти уравнения. Наибольший интерес представляют связи между различными на первый взгляд классами солитонов, их глубокое внутреннее родство. Изучение этих связей выявляет удивительную универсальность и глубину идей и методов теории солитонов. Последовательное изложение математической теории солитонов, доступное читателям с хорошей математической подготовкой, можно найти в книгах: Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов. — М.: Наука, 1980; Тахтаджян, Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. — М.: Наука, 1986.