Многоликий хаос

Напрасно в годы хаоса искать конца благого...

Б. Пастернак

О, дум заснувших не буди!

Поди ними хаос шевелится.

Ф. Тютчев

Мы, люди XX в., не любим беспорядка, и слово «хаос» для нас почти ругательное. Примерно такой смысл вкладывает в него Борис Пастернак. Поэт же прошлого века, Федор Иванович Тютчев, вкладывает в это слово совсем иной смысл. Чуть раньше он называет его «древним» и «родимым». Он, конечно, имеет в виду хаос древних греков — некое первичное состояние мира, все порождающее и все поглощающее, или «первоматерию». На современном языке такой хаос больше всего похож на состояние нашей Вселенной в первые мгновения после «Большого взрыва». Одна из глубоких проблем современной космологии — понять, как из этого хаотического состояния образовалась современная упорядоченная Вселенная с ее галактиками и звездами. На некоторых этапах развития вселенной солитоны, видимо, помогали ей упорядочиваться. Мы уже вскользь упоминали об этом, когда познакомились со спиральными рукавами галактик.

Другой тип беспорядочного движения хорошо известен каждому из наблюдений над течением воды. Проще всего увидеть рождение хаотического движения воды, если двигать какой-нибудь предмет плохо обтекаемой формы. Уже при небольшой скорости движения возникают вихри. При очень большой скорости может возникнуть так называемый турбулентный след, подобный тому, который наблюдается за кормой быстро движущегося корабля. В области следа частицы воды движутся совершенно беспорядочно, хаотически. Такие движения жидкости впервые начали изучать Кельвин, Буссинеск, Рейнольдс и Рэлей. Термин «турбулентность» ввел в обиход Кельвин, произведя его от латинского «turbulentus» (беспокойный, беспорядочный). Первые опыты по изучению турбулентного движения воды в обыкновенных водопроводных трубах выполнил Рейнольдс в 1883 г.

Турбулентность — очень сложное явление, точнее, комплекс явлений. Наблюдается много разных типов турбулентности, по-разному беспорядочных. Простых же математических моделей турбулентных движений долго не удавалось найти. Такие модели появились лишь недавно, и в их изучении основную роль играют машинные эксперименты. Это не удивительно, так как турбулентность тоже тесно связана с нелинейностью, и к ней в полной мере относятся приведенные выше слова фон Неймана.

Если у вас есть простая вычислительная машинка, вы можете изучить самую простую модель турбулентного движения. Эта модель поразительно проста, и тем не менее она воспроизводит характерные черты очень сложных и широко распространенных явлений образования хаоса. Существует целый класс подобных моделей, на мы приведем здесь одну. Для ее изучения нужно знать три арифметических операции!

Представьте себе ученую «блоху», владеющую всеми тремя действиями арифметики и прыгающую не просто так, а по определенному закону. Если она в момент времени t_n = n ? ?t (n = 0, 1, 2, 3, ...) сидит в точке x_n на оси x, то в следующий момент t_n+1 = (n + 1) ?t она перепрыгивает в точку x_n+1 = b - x_n², где b — некоторое выбранное число, свое для каждой блохи (назовем ее, скажем, «постоянной блохи»). Пусть блоха начинает движение из некоторой точки отрезка -2  x  +2. Наша задача — определить, куда она может убежать за большое время, т. е. представить себе, каким может быть x_n при больших значениях n.

Как ни проста эта задача на вид, вам едва ли удастся найти ее решение без помощи микрокалькулятора. Однако прежде чем приступить к экспериментам, стоит немного подумать, чего от них можно ожидать. Рассмотрим кривую AA₀A₁ (рис. 7.1), соответствующую уравнению x² + x = b. Если x_n стремится к некоторому пределу, то предельное значение будет лежать на этой кривой.

Численные эксперименты, однако, показывают, что только блохи, для которых точки с координатами (x₀, b) лежат внутри фигуры A₀B₁B₁'A₀' (кривая A₀'A₀ получается зеркальным отражением относительно оси Ob), приближаются к кривой A₀А₁. При этом на ветвь A₀A они никогда не попадают, а если их постоянные b и начальные координаты x₀ таковы, что точка (x₀, b) лежит в заштрихованной области, то такие блохи убегают на бесконечность. Судьба наших ученых блох с постоянной b 0,75 полностью определена. Что бы они ни делали, они либо погибают «в бесконечности», либо притягиваются к точкам на кривой A₀А₁, где мы их легко ловим. Почти столь же печальна судьба блох, у которых (x₀, b) лежит в области B₁B₂B₂'B₁'. Они в конце концов попадают на кривую A₂A₁A₂', и при достаточно большом n перескакивают на каждом шаге с A₁A₂' на A₁A₂ и обратно. Уравнение этой кривой тоже легко определить, воспользовавшись тем, что в пределе больших n после двух последовательных скачков, блоха оказывается вблизи той же ветви, т. е. x_2+n  x_n. Отсюда находим x_n+2 = b - (b - x_n²)² и в пределе, когда x_n+2  x_n  x, находим для x уравнение (b - x²)² - (b - x) = 0. Легко проверить, что левая часть этого уравнения равна произведению двух множителей: (x² + x - b) и (x² - x + 1 - b). Обращение в нуль первого множителя дает кривую AA₀A₁, а второго — кривую A₂A₁A₂'.

До сих пор мы могли бы более или менее точно предсказать, что будет происходить. При увеличении «блошиной» постоянной все, однако, быстро усложняется. Кривые, которые их притягивают, продолжают раздваиваться, и при b 1,5 скачки становятся почти непредсказуемыми, беспорядочными. На рисунке этому соответствует зачерненная область. Например, если блоха начинает движение на отрезке B₃B₃', то она притянется к отрезку C₃C₃'. Предельные значения ее координат плотно заполняют этот отрезок (на самом деле, как показывают дальнейшие эксперименты, устройство зачерненного притягивающего множества гораздо сложнее, читатель может попробовать изучить его в экспериментах).

Притягивающее множество в научной литературе называют аттрактором. Например, аттрактор маятника с трением состоит из единственной точки нижнего положения равновесия. Аттрактор раскачиваемых качелей — периодическое движение, при котором потери на трение точно компенсируются энергией, затрачиваемой на раскачивание. Аттрактор нашей блошиной модели имеет весьма сложную структуру. При b 1,5 движение блохи периодическое — она регулярно перескакивает с одной ветки на другую. На линиях B₁B₁' характер движения меняется скачком, так как число ветвей удваивается. Это очень типичное для нелинейных систем явление называется бифуркацией (от слова bifurcate — раздваиваться, разветвляться). При увеличении b наша система переходит через последовательность бифуркаций в область хаотического движения (для блохи хаос означает свободу; увеличивая свою постоянную, она может перейти из «царства необходимости» в «царство свободы»).

Любопытно, что в этом царстве свободы время от времени (точнее, при некоторых значениях b) возникают «островки необходимости» — движение вновь становится периодическим. Однако если при b 1,5 период равен 2ⁿ, то в этих островках он равен 3, 5, 7 и т. д.

Вся эта картина соотношения между периодическими и хаотическими движениями — удвоение периода, переход к хаотическому движению, появление островков периодичности — типична для многих физических систем. Притягивающее множество, на котором движение хаотично, называют «странным аттрактором».

Внимательный читатель, который не поленился самостоятельно выполнить численные эксперименты с блошиной моделью, мог бы обнаружить замечательную закономерность в бифуркациях. Обозначим величины блошиной постоянной в точках бифуркаций буквами b_n, так что b₁ = -0,25, b₂ = 0,75 и т. д. Оказывается, что при больших значениях n разности этих чисел образуют геометрическую прогрессию. Точнее, выполнено соотношение

(b_n+1 - b_n)/(b_n - b_n-1) ? 1/?, ? = 4,6692 ...

Эту замечательную закономерность открыл американский физик Митчел Фейгенбаум в 1975 г. Он изучал на карманной вычислительной машинке модель, очень похожую на изученную нами. Обнаружив эту закономерность, он стал исследовать другие отображения и вскоре понял, что открыл новый закон природы. Убедить в этом других ученых, оказалось не так-то просто, два-три года журналы не принимали его статьи. Однако в наше время есть много других способов обнародовать свое открытие, например научные конференции, и вскоре исследование бифуркаций и хаоса стало одной из наиболее модных научных тем. Число называется теперь постоянной Фейгенбаума, а найденная им закономерность в распределении бифуркаций — законом подобия Фейгенбаума.

Изучению таких моделей посвящается сейчас немало серьезных научных работ, и блошиная модель заимствована из современного физического журнала. Это, конечно, только первый шаг на пути к пониманию турбулентности, но похоже, что он выведет на дорогу, двигаясь по которой можно будет полностью разобраться в природе этого сложного явления. «Так о великих вещах помогают составить понятье малые вещи, пути намечая для их достиженья» (Лукреций Кар).

Турбулентное поведение может возникать даже в простых физических системах. Раньше физиков в основном интересовал хаос несколько иного происхождения — молекулярный хаос, возникающий в системах из очень большого числа взаимодействующих друг с другом частиц. Уже Д. Бернулли и Ломоносов понимали, что тепловые явления объясняются беспорядочным движением молекул. Однако только после работ Клаузиуса, Максвелла и Больцмана это представление превратилось в настоящую физическую теорию.

В этой теории природа происхождения совершенно беспорядочных движений молекул приписывалась очень частому столкновению молекул между собой. При столкновениях они обмениваются энергией, и молекулы в основном имеют энергии, близкие к среднему значению, одинаковому для всех молекул (тепловой энергии). Легко понять, что молекулы воздуха при комнатной температуре действительно должны двигаться совершенно хаотично. В 1 л воздуха содержится n = N_А/22,4 л 3?10²² молекул (N_А — постоянная Авогадро). Их средняя скорость v равна (где R — газовая постоянная), т. е. около 200 км/ч! Среднее расстояние l, которое молекула пробегает без столкновений, легко оценить с помощью соображений размерности. Оно очевидно зависит от размера молекул d и от числа молекул в единице объема и равно примерно l 1/(d²n), т. е. l 10^-5 см. Поэтому в 1 с молекула испытывает примерно v/l 10¹⁰ столкновений!

В таких условиях, конечно, нет никакого смысла следить за движением отдельной молекулы. Все они находятся в равном положении, можно говорить лишь об их средней скорости и средней энергии, которые и определяют давление и температуру газа. Что, однако, произойдет, если уменьшать число молекул в единице объема или понижать температуру? Столкновения будут становиться все реже и реже, а в конце концов движение может потерять неупорядоченный характер.

До какого предела движение останется хаотическим и можно пользоваться для описания его состояния такими усредненными характеристиками, как давление и температура? Ни Максвелл, ни Больцман не знали ответа на этот вопрос, да и сейчас, сто лет спустя, мы не умеем на него ответить. Возможно, что на столь общий вопрос и нет единственного ответа. Естественно попробовать сузить вопрос.

Что происходит при понижении температуры? При достаточно низкой температуре газ превратится в твердое тело. Рассмотрим поэтому движение частиц в кристалле. Сделаем еще одно упрощение и возьмем одномерный кристалл, который мы привыкли заменять моделью грузиков, связанных пружинками. Вот тут-то и выявляется в совершенно обнаженном виде самая суть вопроса. При достаточно низкой температуре грузики (молекулы) колеблются около своих положений равновесия, и беспорядок выражается в том, что фазы их колебаний распределены совершенно хаотически. Амплитуды колебаний и максимальные скорости также должны беспорядочно изменяться, но в среднем они должны быть одинаковы для каждого грузика. Возможен ли такой молекулярный беспорядок в модели грузиков?

Ответ на это, на первый взгляд, отрицательный. Вспомним линейную теорию движений грузиков, с которыми мы познакомились в гл. 4. Мы выяснили, что все движения системы из N грузиков представляют собой сумму N мод. Если бы при этом вначале была одна гармоника с частотой , то через время Т₁ = 1/ наша система возвратилась бы в начальное состояние.

Если возбуждены все N независимых мод, то такое возвращение произойдет за время Т_N = 1/, где — минимальная частота...

Ч и т а т е л ь. Постойте! А не нужно ли нам учесть трение?

А в т о р. Вы забыли, что мы имеем дело с молекулами, а не с реальными грузиками и пружинками! С молекулярной точки зрения, трение — это просто перераспределение энергии — переход энергии упорядоченного движения в энергию хаотического теплового движения. Если пренебречь внутренней структурой молекул и их взаимодействием с окружающей средой, то ни о каком трении говорить нельзя.

Ч и т а т е л ь. Я, может быть, неточно выразился. Я хотел сказать, что модель, в которой моды не зависят друг от друга, лишь приближенная. На самом деле они как-то связаны друг с другом?

А в т о р. Конечно, связаны, и естественно предположить, что взаимодействие одной гармоники с остальными будет приводить к потере ею энергии, т. е. действовать подобно трению. Тогда упорядоченное движение одной гармоники будет переходить в хаотическое движение остальных.

Итак, независимость мод связана с линейностью сил, связывающих грузики. Если нарушить линейность (скажем, пружины не подчиняются закону Гука), то можно ожидать, что движения грузиков станут хаотичными, по крайней мере в том случае, когда число грузиков N достаточно велико. Примерно так думало большинство физиков, в том числе и Энрико Ферми. Впрочем, возможно, что у Ферми были кое-какие сомнения на этот счет. Вероятно, его интересовало также, сколь большим должно быть число N. Достаточно ли велико N = 100 или же надо взять N = 1 000 000? *) К сожалению, Ферми не успел получить ответа на этот вопрос. Так или иначе, но первый серьезный вопрос, который он решил задать ЭВМ, был вопрос об установлении теплового равновесия в цепочке грузиков и нелинейных пружин. Результат машинного эксперимента оказался совершенно неожиданным.

_{*) В конце 50-x годов были выполнены компьютерные расчеты поведения 100 твердых шаров в кубическом ящике, размер которого примерно в 100 раз больше диаметра шаров. Оказалось, что столкновения между шарами довольно быстро приводят к хаотическому (максвелловскому) распределению их скоростей. Для хаотизации оказалось достаточно 150—200 столкновений.}