§ 4. Оператор места

Каково среднее местоположение электрона в атоме? В данном состоянии |?> каково среднее значение координаты х? Разберем одномерный случай, а обобщение на трехмерный или на системы с большим числом частиц останется на вашу долю. Мы имеем состояние, описываемое функцией ?(x), и продолжаем раз за разом измерять х. Что получится в среднем? Очевидно, ?xP(x)dx, где Р(х)—вероятность обнаружить электрон в небольшом элементе длины dx возле х. Пусть плотность вероятности Р(х) меняется с х так, как показано на фиг. 18.1.

Фиг. 18.1. Кривая плотности вероятности, представляющей локализованную частицу.

Вероятнее всего вы обнаружите электрон где-то возле вершины кривой. Среднее значение х тоже придется куда-то на область невдалеке от вершины, а точнее, как раз на центр тяжести площади, ограниченной кривой.

Мы видели раньше, что P(x)=|?(x)|²=?*(x)?(х), значит, среднее х можно записать в виде

(18.33)

Наше уравнение для <x>_ср имеет тот же вид, что (18.18). Когда мы считали среднюю энергию, мы ставили между двумя ? оператор ^?, а когда считаем среднее положение, ставим просто х. (Если угодно, можете рассматривать х как алгебраический оператор «умножь на х».) Эту параллель можно провести еще дальше, выразив среднее местоположение в форме, которая соответствует уравнению (18.18). Предположим, что мы просто написали

(18.34)

где

(18.35)

и смотрим, не удастся ли найти такой оператор х, чтобы он создавал состояние |?>, при котором уравнение (18.34) не противоречит уравнению (18.33). Иначе говоря, мы должны найти такое |?>, чтобы было

(18.36)

Разложим сперва <?|?> по x-представлению:

(18.37)

Сравним затем интегралы в (18.36) и (18.37). Вы видите, что в х-представлении (и только в этом представлении)

(18.38)

Воздействие на |?> оператора ^x для получения |?> равнозначно умножению ?(x)=<x|?> на х для получения ?(х)=<x|?>. Перед нами определение оператора ^x в координатном представлении[85].

(Мы не задавались целью получить x-представление матрицы оператора ^x. Если вы честолюбивы, попытайтесь показать, что

(18.39)

Тогда вы сможете доказать поразительную формулу

(18.40)

т. е. что оператор ^x обладает интересным свойством: когда он действует на базисное состояние |x>, то это равнозначно умножению на х.)

А может, вы хотите знать среднее значение x²? Оно равно

(18.41)

Или, если желаете, можно написать и так:

где

(18.42)

Под ^x² подразумевается ^x^x — два оператора применяются друг за другом. С помощью (18.42) можно подсчитать <x²>_ср, пользуясь каким угодно представлением (базисными состояниями). Если вам нужно знать среднее значение хⁿ или любого многочлена по х, то вы легко это теперь проделаете.