§ 1. Преобразование амплитуд

В предыдущей главе мы, пользуясь в качестве примера системой со спином 1, набросали общие принципы квантовой механики.

Любое состояние ? можно описать через совокупность базисных состояний, задав амплитуды пребывания в каждом из них.

Амплитуда перехода из одного состояния в другое может быть в общем случае записана в виде суммы произведений амплитуд перехода в одно из базисных состояний на амплитуды перехода из этих базисных состояний в конечное положение; в сумму непременно входят члены, относящиеся к каждому базисному состоянию:

(4.1)

Базисные состояния ортогональны друг другу — амплитуда пребывания в одном, если вы находитесь в другом, есть нуль:

(4.2)

Амплитуда перехода из одного состояния в другое комплексно сопряжена амплитуде обратного перехода

(4.3)

Мы немного поговорили о том, что базис для состояний может быть не один и что можно использовать (4.1), чтобы перейти от одного базиса к другому. Пусть, например, мы знаем амплитуды <iS|?> обнаружения состояния ? в любом из базисных состояний i базисной системы S, но затем решаем, что лучше описывать состояние в терминах другой совокупности базисных состояний — скажем, состояний j, принадлежащих к базису Т. Мы тогда можем подставить в общую формулу (4.1) jT вместо ? и получить

(4.4)

Амплитуды обнаружения состояния (?) в базисных состояниях (jТ) связаны с амплитудами его обнаружения в базисных состояниях (iS) совокупностью коэффициентов <jT|iS>. Если базисных состояний N, то таких коэффициентов всего N². Эту совокупность коэффициентов часто называют «матрицей преобразования от представления S к представлению Т». Математически это выглядит страшновато, но стоит все чуть обозначить иначе и оказывается, что ничего страшного нет. Если обозначить через С_i амплитуду того, что состояние ? находится в базисном состоянии iS, т. е. C_i=<iS|?>, а через C'_j назвать соответствующие амплитуды для базисной системы Т, т. е. С_j=<jT|?>, то (4.4) можно записать в виде

(4.5)

где R_ji — то же самое, что и <jT|iS>. Каждая амплитуда C_j есть сумма по всем i одного ряда коэффициентов R_ji, умноженных на каждую амплитуду С_i. Это выглядит так же, как преобразование вектора от одной системы координат к другой.

Но не будем слишком долго увлекаться абстракцией. Мы уже приводили парочку примеров этих коэффициентов для случая спина 1, и вы сами можете разобраться, как ими пользоваться практически. Но, с другой стороны, у квантовой механики существует очень красивое качество: из того факта, что состояний только три, используя лишь свойства симметрии пространства относительно вращений, она умеет чисто отвлеченным путем вычислить эти коэффициенты. Приводить на столь ранней стадии эти рассуждения было бы нехорошо: прежде чем вы «вернулись бы на землю», вы могли бы утонуть в новом море абстракций. Однако все это так красиво, что мы в свое время это непременно проделаем.

В этой же главе мы покажем вам, как можно получить коэффициенты преобразований для частиц со спином ¹/₂. Мы выбрали этот случай потому, что он проще спина 1. Задача состоит в том, чтобы определить коэффициенты R_ji для частицы, или атомной системы, которая в аппарате Штерна—Герлаха расщепляется на два пучка. Мы собираемся вывести все коэффициенты для преобразования от одного представления к другому путем чистого рассуждения плюс несколько предположений. Какие-то предположения всегда нужны для того, чтобы пользоваться «чистыми» рассуждениями! Хотя наши доказательства будут абстрактными и немного запутанными, результат, который мы получим, сформулировать легко и понять просто; сам же по себе он будет очень важным. Можете, если угодно, рассматривать это как своего рода культмероприятие. Мы ведь условились уже, что все существенное, выведенное здесь, будет также выводиться по мере надобности в следующих главах другим путем. Так что вы не бойтесь потерять нить нашего изложения квантовой механики, если полностью пропустите эту главу или изучите ее попозже. Мероприятие «культурное» в том смысле, что оно должно показать вам, что принципы квантовой механики не только любопытны, но и настолько глубоки, что, прибавив к ним всего несколько добавочных гипотез о структуре пространства, мы сможем вывести огромное множество свойств физических систем. Кроме того, важно понимать, откуда вытекают различные следствия квантовой механики. Пока наши законы физики неполны (а так оно и есть на самом деле), всегда интересно выяснить, в каких местах наши теории перестают согласовываться с опытом — там ли, где наша логика самая лучшая, или же там, где она наихудшая. До сих пор оказывалось, что там, где наша логика наиболее абстрактна, там она всегда дает правильные результаты — теория согласуется с опытом. Только тогда, когда мы пытаемся строить конкретные модели внутреннего устройства элементарных частиц и их взаимодействий, только тогда мы оказываемся не в состоянии найти теорию, согласную с экспериментом. Та теория, которую мы намерены описать здесь, согласуется с опытом всюду, где ее испытывали; она так же хороша для странных частиц, как и для электронов, протонов и т. д.

Еще одно неприятное (но важное) замечание: коэффициенты R_ji невозможно определить однозначно, потому что в амплитудах вероятностей всегда есть какой-то произвол. Если у вас есть ряд каких угодно амплитуд, скажем амплитуд прихода в некоторое место по целому множеству различных путей, и если вы помножите каждую отдельную амплитуду на один и тот же фазовый множитель, скажем на е^i?, то получится другая совокупность, которая будет ничуть не хуже первой. Значит, всегда можно произвольно изменить фазу всех амплитуд в любой задаче, если вы этого захотите.

Допустим, вы вычисляете некоторую вероятность, беря сумму нескольких амплитуд, скажем (А+В+С+...), и возводя ее модуль в квадрат. Затем кто-то другой вычисляет то же самое, складывая амплитуды (А'+В'+С'+...) и возводя их модуль в квадрат. Если все А', В', С' и т. д. отличаются от А, В, С и т. д. только множителем е^i?, то все вероятности, получаемые возведением модуля в квадрат, окажутся в точности одинаковыми, потому что тогда (А'+В'+С+...) равно e^i?(А+В+С+...). Или допустим, к примеру, что мы считали что-нибудь по уравнению (4.1), но затем внезапно изменили все фазы определенной базисной системы. Каждую из амплитуд <i|?> тогда пришлось бы умножить на один и тот же множитель е^i?. Точно так же изменились бы в e^i? раз и все амплитуды <i|?>, но амплитуды <?|i> комплексно сопряжены амплитудам <i|?>; тем самым они приобрели бы множитель е^-i?. Плюс и минус i? в экспонентах уничтожатся, и получится то же выражение, что было и раньше. Стало быть, общее правило таково, что изменение на одну и ту же фазу всех амплитуд по отношению к данной базисной системе или даже простое изменение всех амплитуд в любой задаче на одну и ту же фазу ничего не меняет. Значит, существует некоторая свобода в выборе фаз нашей матрицы преобразования. Мы то и дело будем прибегать к такому произвольному выбору, всегда следуя общепринятым соглашениям.