§ 2. Спиновые матрицы как операторы

Раз уж мы занялись математическими обозначениями, то хотелось бы описать еще один способ записи, способ, часто употребляемый из-за своей краткости. Он прямо следует из обозначений, введенных в гл. 6. Если имеется система в состоянии |?|(t)>, изменяющемся во времени, то можно, как мы это делали в уравнении (6.31), написать амплитуду того, что система при t+?t оказалась бы в состоянии |i>:

Матричный элемент <i|U(t, t+?t)|j> — это амплитуда того, что базисное состояние |j> превратится в базисное состояние |i> за время ?t. Затем мы определяли Н_ij при помощи

и показывали, что амплитуды C_i(t)=<i|?(t)> связаны дифференциальными уравнениями

(9.15)

Если амплитуды C_i записать явно, то это же уравнение будет выглядеть по-иному:

(9.16)

Далее, матричные элементы H_ij — это тоже амплитуды, которые можно записывать в виде <i|H|j>; наше дифференциальное уравнение выглядит тогда так:

(9.17)

Мы видим, что —i?<1|H|j> — это амплитуда того, что в физических условиях, описываемых матрицей Н, состояние |j> за время dt «генерирует» состояние |i>. (Все это неявно подразумевалось в рассуждениях гл. 6, § 4.)

Теперь, следуя идеям гл. 6, § 2, мы можем сократить в (9.17) общий «множитель» <i|, поскольку (9.17) справедливо при любом |i>, и записать это уравнение просто в виде

(9.18)

Или, сделав еще один шаг, убрать к тому же и j и написать

(9.19)

В гл. 6 мы указывали, что при такой записи Н в Н|j> или в Н|?> называется оператором. Отныне на операторы мы будем надевать маленькие шапочки (^), чтобы напоминать вам, что это оператор, а не число. Мы будем писать ^H|?>. Хотя оба уравнения (9.18) и (9.19) означают в точности то же самое, что и (9.15) или (9.17), мы можем думать о них совершенно иначе. Например, уравнение, (9.18) можно было бы описывать так: «Производная по времени от вектора состояния |?> равняется тому, что получается от действия оператора Гамильтона Н на каждое базисное состояние, умноженному на амплитуду <j|?> того, что ? окажется в состоянии j, и просуммированному по всем j». Или уравнение (9.19) можно описать так: «Производная по времени (умноженная на i?) от состояния |?> равняется тому, что вы получите, если подействуете гамильтонианом Н на вектор состояния |?>». Это просто сокращенный способ выражения того, что содержится в (9.17), но, как вы потом убедитесь, он может оказаться очень удобным.

Если хотите, идею «абстрагирования» можно продвинуть еще на шаг. Уравнение (9.19) справедливо для всякого состояния |?>. Кроме того, левая сторона i?d/dt — это тоже оператор; его действие: «продифференцируй по t и умножь на i?». Итак, (9.19) можно рассматривать как уравнение между операторами — операторное уравнение

Оператор Гамильтона (с точностью до константы), действуя на любое состояние, приводит к тому же результату, что и d/dt. Помните, что это уравнение, как и (9.19), не есть утверждение о том, что оператор ^H просто та же операция, что и d/dt. Эти уравнения — динамический закон природы (закон движения) для квантовой системы.

Только для того, чтобы попрактиковаться в этих представлениях, продемонстрируем вам другой вывод уравнения (9.18). Вы знаете, что любое состояние |?> можно записать через его проекции на какой-то базис [см. (6.8)]:

(9.20)

Как же меняется |?> во времени? Продифференцируем его:

(9.21)

Но базисные состояния |i> во времени не меняются (по крайней мере у нас они всегда были определенными, закрепленными состояниями), и только амплитуды <i|?> — это числа, которые могут меняться. Иначе говоря, (9.21) превращается в

(9.22)

Но ведь d<i|?>/dt нам известно—это (9.16); получается, следовательно,

А это опять-таки уравнение (9.18).

Итак, на гамильтониан можно смотреть по-разному. Можно рассматривать совокупность коэффициентов H_ij просто как компанию чисел, можно говорить об «амплитудах» <i|Н|j>, можно представлять себе «матрицу» H_ij и можно считать его «оператором» ^H. Все это одно и то же.

Вернемся теперь к нашей системе с двумя состояниями. Если уж мы записываем гамильтониан через матрицы сигма (с подходящими численными множителями, такими, как В_х и т. д.), то естественно рассматривать и ?^x_ij как амплитуду < i|?_х|j>, или, для краткости, как оператор ^?_x. Если применить эту идею оператора, то уравнение движения состояния |?> в магнитном поле можно написать в виде

(9.23)

Желая «использовать» это уравнение, нам, естественно, приходится выражать |?> через базисные векторы (равносильно тому, что приходится находить компоненты пространственных векторов, когда задача доводится до числа). Так что обычно мы предпочитаем расписывать (9.23) в более раскрытом виде:

(9.24)

Сейчас вы увидите, чем красива идея оператора. Чтобы применять уравнение (9.24), нужно знать, что будет, когда операторы ^? подействуют на каждое базисное состояние. Напишем ^?_z|+>; это какой-то вектор |?>, но какой? Что ж, умножим его слева на <+| и получим

(пользуясь табл. 9.1). Итак, мы знаем, что

(9.25)

Теперь умножим ^?_z|+> слева на <-|. Получится

т, е.

(9.26)

Существует только один вектор состояния, удовлетворяющий и (9.25), и (9.26); это |+>. Мы, стало быть, открыли, что

(9.27)

Такого рода рассуждениями можно легко показать, что все свойства матриц сигма могут быть в операторных обозначениях описаны рядом правил, приведенных в табл. 9.3.

Таблица 9.3. СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА ^?

Если у нас есть произведения матриц сигма, то они переходят в произведения операторов. Когда два оператора стоят рядом в виде произведения, то сперва приступает к операции тот оператор, который стоит правее. Скажем, под ^?_x^?_y|+> надо понимать ^?_х(^?_y|+>). Из табл. 9.3 получаем ^?_y|+>=i|-> так что

(9.28)

Числа (как, например, i) просто проходят сквозь операторы (операторы действуют только на векторы состояний); значит (9.28) перейдет в

Если сделать то же самое с ^?_x^?_y|->, то получится

Если взглянуть на табл. 9.3, то видно, что ^?_х^?_у, действуя на |+> или |->, даст в точности то же, что получается, если просто подействовать оператором ^?_z и умножить на — i. Поэтому можно сказать, что операция ^?_х^?_y совпадает с операцией i^?_z, и записать это утверждение в виде операторного уравнения

(9.29)

Убедитесь, что это уравнение совпадает с одним из наших матричных уравнений табл. 9.2. Итак, мы опять видим соответствие между матричной и операторной точкой зрения. Каждое из уравнений в табл. 9.2 может поэтому рассматриваться и как уравнение относительно операторов сигма. Можно проверить, что они действительно следуют из табл. 9.3. Работая с этими вещами, лучше не следить за тем, являются ли величины типа ? или Н операторами или матрицами. Чем их ни считай, уравнения выйдут одни и те же, так что табл. 9.2 можно при желании относить то к операторам сигма, то к матрицам сигма.