§ 6. Рассеяние на нерегулярностях решетки

Теперь мы хотим рассмотреть одиночный электрон в неидеальном кристалле. Наш первоначальный анализ привел к выводу, что у идеальных кристаллов и проводимость идеальна, что электроны могут скользить по кристаллу, как по вакууму, без трения. Одной из самых важных причин, способных прекратить вечное движение электрона, является несовершенство кристалла, какая-то нерегулярность в нем. Допустим, что где-то в кристалле не хватает одного атома, или предположим, что кто-то поставил на место, предназначенное для какого-то атома, совсем не тот атом, какой положено, так что в этом месте все совсем не так, как в прочих местах. Скажем, другая энергия Е₀ или другая амплитуда А. Как тогда можно будет описать все происходящее?

Для определенности вернемся к одномерному случаю и допустим, что атом номер «нуль» — это атом «загрязнения», «примеси» и у него совсем не такая энергия Е₀, как у других атомов. Обозначим эту энергию Е₀+F. Что же происходит? Для электрона, который достиг атома «нуль», есть какая-то вероятность того, что он рассеется назад. Если волновой пакет, мчась по кристаллу, достигает места, где все немного иначе, то часть его будет продолжать лететь вперед, а другая отскочит назад. Анализировать такой случай, пользуясь волновым пакетом, очень трудно, потому что все меняется во времени. С решениями в виде установившихся состояний работать много легче. Мы обратимся поэтому к стационарным состояниям; мы увидим, что их можно составить из непрерывных волн, состоящих из двух частей — пробегающей и отраженной. В случае трех измерений мы бы назвали отраженную часть рассеянной волной, потому что она разбегалась бы во все стороны.

Исходим из системы уравнений, похожей на (11.6), за одним исключением: уравнение при n=0 не похоже на остальные. Пятерка уравнений при n=-2,-1, 0, +1 и +2 выглядит так:

(11.28)

Конечно, будут и другие уравнения при |n|>2. Они будут выглядеть так же, как (11.6).

Нам полагалось бы на самом деле для общности писать разные А, в зависимости от того, прыгает ли электрон к атому «нуль» или же от атома «нуль», но главные черты того, что происходит, вы увидите уже из упрощенного примера, когда все А равны.

Уравнение (11.10) по-прежнему будет служить решением для всех уравнений, кроме уравнения для атома «нуль» (для него оно не годится). Нам нужно другое решение; соорудим его так. Уравнение (11.10) представляет волну, бегущую в положительном направлении х. Волна, бегущая в отрицательном направлении х, тоже подошла бы в качестве решения. Мы бы написали

Самое общее решение уравнения (11.6) представляло бы собой сочетание волны вперед и волны назад:

(11.29)

Это решение представляет комплексную волну с амплитудой ?, бегущую в направлении +х, и волну с амплитудой ?, бегущую в направлении -х.

Теперь бросим взгляд на систему уравнений нашей новой задачи: на (11.28) плюс такие же уравнения для остальных атомов. Уравнения, куда входят а_n с n?-1, решаются формулой (11.29) при условии, что k оказывается связанным с Е и постоянной решетки b соотношением

(11.30)

Физический смысл этого таков: «падающая» волна с амплитудой ? приближается к атому «нуль» (или «рассеивателю») слева, а «рассеянная» или «отраженная» волна с амплитудой ? бежит обратно, т. е. налево. Не теряя общности, можно положить амплитуду ? падающей волны равной единице. Тогда амплитуда ? будет, вообще говоря, комплексным числом.

То же самое можно сказать и о решениях а_n при n?1. Коэффициенты могут стать иными, так что следовало бы писать

(11.31)

Здесь ? — амплитуда волны, бегущей направо, а ? — амплитуда волны, приходящей справа. Мы хотим рассмотреть такой физический случай, когда вначале волна бежит только слева, и за рассеивателем (или атомом загрязнения) имеется только «прошедшая» волна. Будем поэтому искать решение, в котором ?=0. Стало быть, мы попытаемся удовлетворить всем уравнениям для а_n, кроме средней тройки в (11.28), с помощью следующих пробных решений:

(11.32)

Положение, о котором идет речь, иллюстрируется фиг. 11.6.

Фиг. 11.6. Волны в одномерной решетке а одним «примесным» атомом в n=0.

Используя формулы (11.32) для а_-1 и а₊₁, можно из средней тройки уравнений (11.28) найти а₀ и два коэффициента ? и ?. Таким образом, мы найдем полное решение. Надо решить три уравнения (полагая x_n=nb):

(11.33)

Вспомните, что (11.30) выражает E через k. Подставьте это значение Е в уравнения и учтите, что

тогда из первого уравнения получится

(11.34)

а из третьего

(11.35)

что согласуется друг с другом только тогда, когда

(11.36)

Это уравнение сообщает нам, что прошедшая волна (?) — это просто исходная падающая волна (1) плюс добавочная волна (?), равная отраженной. Это не всегда так, но при рассеянии на одном только атоме оказывается, что это так. Если бы у вас была целая группа атомов примеси, то величина, добавляемая к волне, бегущей вперед, не обязательно вышла бы такой же, как у отраженной волны.

Амплитуду ? отраженной волны мы можем получить из среднего из уравнений (11.33); окажется, что

(11.37)

Мы получили полное решение для решетки с одним необычным атомом.

Вас могло удивить, отчего это проходящая волна оказалась «выше», чем падавшая, если судить по уравнению (11.34). Но вспомните, что ? и ? — числа комплексные и что число частиц в волне (или, лучше сказать, вероятность обнаружить частицу) пропорционально квадрату модуля амплитуды. В действительности «сохранение числа электронов» будет выполнено лишь при условии

(11.38)

Попробуйте показать, что в нашем решении так оно и есть.