§ 2. Средние энергии

До сих пор мы в основном напоминали вам о том, что вы уже знаете. А теперь перейдем к новому. Как бы вы подсчитали среднюю энергию системы, скажем, атома? Если атом находится в определенном состоянии с определенной энергией и вы эту энергию измеряете, то вы получите определенную энергию Е. Если вы начнете повторять измерения с каждым из множества атомов, которые отобраны так, чтобы быть всем в одинаковом состоянии, то все измерения дадут вам Е, и «среднее» изо всех ваших измерений тоже, конечно, окажется Е.

Но что случится, если вы проделаете свои измерения над состоянием |?>, которое не является стационарным? Раз у системы нет определенной энергии, то одно измерение даст одну энергию, то же измерение над другим атомом в том же состоянии даст другую и т. д. Каким же окажется среднее всей серии измерений энергии?

На этот вопрос мы ответим, если возьмем проекцию состояния |?> на систему состояний с определенной энергией. Чтобы помнить, что это особый базис, будем обозначать эти состояния |?_i>. Каждое из состояний |?_i> обладает определенной энергией E_i. В этом представлении

(18.10)

Когда вы проделываете измерение энергии и получаете некоторое число Е_i, вы тем самым обнаруживаете, что система была в состоянии |?_i>. Но в каждом новом измерении вы можете получить новое число. Иногда вы получите E₁, иногда Е₂, иногда Е₃ и т. д. Вероятность, что вы обнаружите энергию E₁, равна попросту вероятности обнаружить систему в состоянии |?₁>, т. е. квадрату модуля амплитуды С₁=<?₁|?>. Вероятность обнаружить то или иное возможное значение энергии E_i есть

(18.11)

Как же связать эти вероятности со средним значением всей последовательности измерений энергий? Вообразим, что мы получили ряд результатов измерений, например E₁, Е₇, E₁₁, Е₉, E₁, E₁₀, Е₇, E₂, Е₃, Е₉, Е₆, E₄ и т. д., всего тысяча измерений. Сложим все энергии и разделим на 1000. Это и есть среднее. Можно сложение проделать и покороче. Посчитайте, сколько раз у вас вышло E₁ (скажем, оно вышло N₁ раз), сколько раз вышло Е₂ (скажем, N₂ раз) и т. д. Ясно, что сумма всех энергий равна

Средняя энергия равна этой сумме, деленной на полное число измерений, т. е. на сумму всех N_i, которую мы обозначим N:

(18.12)

Мы почти у цели. Под вероятностью какого-нибудь события мы понимаем как раз число случаев, когда ожидается наступление этого события, деленное на общее число испытаний. Отношение N_i/N должно (при больших N) мало отличаться от P_i— вероятности обнаружить состояние |?_i>, хоть и не будет точно совпадать с Р_i из-за статистических флуктуации. Обозначим предсказываемую (или «ожидаемую») среднюю энергию <E>_ср; тогда мы вправе сказать

(18.13)

Те же рассуждения подойдут к измерениям каких угодно величин. Среднее значение измеряемой величины А должно равняться

где A_i—различные допустимые значения наблюдаемой величины, а Р_i — вероятность получения этого значения.

Вернемся теперь к нашему квантовомеханическому состоянию |?>. Его средняя энергия равна

(18.14)

А теперь следите внимательно! Сначала перепишем эту сумму так:

(18.15)

Теперь будем рассматривать левое <?| как общий множитель.

Вынесем его за знак суммы и напишем

Это выражение имеет вид <?|?>, где |?> — некоторое «придуманное» состояние, определяемое равенством

(18.16)

Иными словами, это то состояние, которое у вас получится, если вы возьмете каждое базисное состояние |?_i> в количестве Е_i<?_i|?>.

Но вспомним теперь, что такое |?_i>. Состояния |?_i> считаются стационарными, т. е. для каждого из них

А раз Е_i—просто число, то правая часть совпадает с |?_i>Е_i, а сумма в (18.16) — с

Теперь приходится просуммировать по i общеизвестную комбинацию, приводящую к единице:

Чудесно, уравнение (18.16) совпало с

(18.17)

Средняя энергия состояния |?> записывается, стало быть, в очень привлекательном виде

(18.18)

Чтобы получить среднюю энергию, подействуйте на |?> оператором ^H и затем умножьте на <?|. Очень простой результат. Наша новая формула для средней энергии не только привлекательна, но и полезна. Теперь нам уже не надо ничего говорить об особой системе базисных состояний. И даже всех уровней энергии знать не нужно. При расчете достаточно выразить наше состояние через какую угодно совокупность базисных состояний, и, если мы знаем гамильтонову матрицу Н_ij для этой совокупности, мы уже сможем узнать среднюю энергию. Уравнение (18.18) говорит, что при любой совокупности базисных состояний |i> средняя энергия может быть вычислена из

(18.19)

где амплитуды <i|H|j> как раз и есть элементы матрицы H_ij.

Проверим это на том частном примере, когда состояния |i> суть состояния с определенной энергией. Для них ^H|j>=E|j>, так что <i|^H|j>=E_j?_ij и

что вполне естественно.

Уравнение (18.19) можно, кстати, обобщить и на другие физические измерения, которые вы в состоянии выразить в виде оператора. Например, пусть ^L_z есть оператор z-компоненты момента количества движения L. Средняя z-компонента для состояния |?> равна

Один из способов доказательства этой формулы — придумать такую задачу, в которой энергия пропорциональна моменту количества движения. Тогда все рассуждения просто повторятся. Подытоживая, скажем, что если физически наблюдаемая величина А связана с соответствующим квантовомеханическим оператором ^A, то среднее значение А в состоянии |?> дается формулой

(18.20)

Под этим подразумевается

(18.21)

где

(18.22)